Operador de energía

Formularé lo siguiente de tal manera que el lenguaje no cambie demasiado dentro de la respuesta. Esto también enfatiza las analogías de conceptos relacionados.

• Clásicamente, tiene una configuración/estado$\Psi$, que se caracteriza por coordenadas$x^i,v^i$o$q^i,p_i$y/o cualquier otro parámetro relevante. Entonces una energía es una función o funcional de esta configuración

  $$H:\Psi\mapsto E_\Psi,\ \ \mbox{where}\ \ E_\Psi:=H[\Psi].$$

  Aquí$E_\Psi$es algún valor real (de energía) asociado con la configuración$\Psi$.

  Para nombrar un ejemplo: Sea$q$y$p$sean las coordenadas de su espacio de fase bidimensional, entonces cada punto$\Psi=(q,p)$caracteriza una posible configuración. La configuración/estado$\Psi$aquí es realmente sólo el par de coordenadas. La función escalar$H(p,q)=\frac{1}{2m}p^2+\frac{\omega}{2}x^2$claramente es un mapa que asigna un valor de energía escalar$E_\Psi$a todas las configuraciones posibles$\Psi$.

  La evolución de$\Psi$en el tiempo está determinado por$H$, consulte las ecuaciones de Hamilton. Esto podría verse como el punto de llegar al hamiltoniano en primer lugar y, por lo general, se hace de tal manera que el valor de la energía$E_\Psi$no cambiará con el tiempo. Vea también este hilo para una pregunta relacionada. Lo que llamas "energía" está bastante determinado por este criterio. En el caso de un hamiltoniano independiente del tiempo (como en el ejemplo) y si el desarrollo temporal de observables$f$se rige por$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t}$, entonces tiene$\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t} = \{H, H\} = 0$y la conservación de la cantidad$E_\Psi:=H[\Psi]$Es evidente. Por supuesto, es posible que desee modelar procesos de fricción y otras cosas, y luego puede ser difícil definir todas las cantidades relevantes.

• En mecánica cuántica, su configuración$\Psi$viene dado por un vector de estado$|\Psi\rangle$(o una clase de equivalencia de dichos vectores) en algún espacio de Hilbert. Hay muchos vectores en este espacio de Hilbert, pero hay algunos vectores$|\Psi_n\rangle$, que también abarcan todo el espacio vectorial y que también son especiales en el siguiente sentido: Son vectores propios del operador hamiltoniano:$H|\Psi_n\rangle = E_n|\Psi_n\rangle$. Aquí$E_n$es solo el valor propio real y asumo que puedo enumerar los estados propios por un índice discreto$n$. Ahora, para cada punto en el tiempo, su vector de estado$\Psi$es solo una combinación lineal de los estados especiales$\{\Psi_n\}$. (Como comentario, tenga en cuenta que todas las dependencias de tiempo de los estados se dejan implícitas en esta publicación). Por lo tanto, si sabe cómo$H$actúa sobre todos los$\Psi_n$s, ya sabes cómo$H$actúa sobre cualquier$\Psi$. Dado que un espacio de Hilbert viene naturalmente con un producto interno, es decir, un mapa

  $$\omega:(|\Psi\rangle,|\Phi\rangle)\mapsto\langle\Psi|\Phi\rangle\in\mathbb{C},\ \ \mbox{satisfying}\ \ \langle\Psi|\Psi\rangle>0\ \ \forall\ \ |\Psi\rangle\ne 0,$$

  puedes definir un nuevo mapa

  $$\omega_H:\Psi\mapsto E_\Psi,\ \ \mbox{where}\ \ E_\Psi:=\omega_H[\Psi],$$

  con

  $$\omega_H[\Psi]:=\omega(|\Psi\rangle,H|\Psi\rangle)\equiv\langle\Psi| H|\Psi\rangle.$$

  Compare las líneas anteriores con el caso clásico. Aquí$E_\Psi=\ ...=\langle\Psi| H|\Psi\rangle$se llama entonces el valor esperado del hamiltoniano en el estado físico. Es el valor energético asociado a$\Psi$, que es real debido a la hermiticidad del hamiltoniano. También, como en el caso clásico, la evolución temporal de cualquier estado$\Psi$(resp. vector de estado$|\Psi\rangle$) está determinada por el observable$H$, un operador en el caso QM. Y como se indicó anteriormente, exactamente esto$H$, junto con el estado/configuración$\Psi$, te da los valores de energía$E_\Psi$asociado con$\Psi$. Esta relación de tiempo y energía es por construcción: la ecuación de Schrödinger es un axioma (pero uno natural, ver conservación de probabilidad), que relaciona la evolución del tiempo y el hamiltoniano. Ahora, si la dependencia del tiempo del estado está gobernada por el hamiltoniano (como sea que se vea en su escenario), entonces también lo está la dependencia del tiempo de$\langle\Psi| H|\Psi\rangle$.

  Y si$\ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\Psi\rangle=H|\Psi\rangle\ $es cierto para todos los vectores en su espacio de Hilbert, es decir, si$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}=H$se mantiene como una ecuación de operador, entonces estos dos realmente son el mismo operador. Si solicita una interpretación para esto, le sugiero que se aferre a la relación de la mecánica cuántica entre la frecuencia y la energía. Con respecto a la ecuación que determina la evolución del tiempo, la mecánica cuántica es mucho más fácil que la mecánica clásica en cierto sentido, especialmente si vienes con alguna intuición de la teoría de grupos de Lie en tu mochila.

El ejemplo clásico de algo donde el hamiltoniano es diferente de la energía total es una partícula en una restricción de aceleración, como una cuenta de partículas que se desliza sobre un cable giratorio. Usaré un sistema diferente, una partícula de masa m en una caja larga con aceleración uniforme.

Si la caja acelera con una aceleración a, en el sistema comóvil existe una fuerza ficticia sobre la partícula que se deriva de un potencial ficticio. La descripción hamiltoniana comoviva es la misma que para una partícula en gravedad, de modo que

Lo cual es válido para x positivo, y el potencial es infinito para x negativo. Al ver la misma partícula en el marco no acelerado, la energía total es solo la energía cinética, y la energía potencial restringe la entrada de la partícula en la región.$x<{at^2\over 2}$. El hamiltoniano comóvil no es la energía de la partícula, que aumenta sin límites con el tiempo, pero proporciona la ley dinámica para la función de onda del marco comóvil.

La función de onda de la partícula (si puede radiar) se establecerá en el estado fundamental del hamiltoniano en movimiento. La partícula estará en un perfil unido contra la pared, donde la unión es por un potencial lineal. Para el marco inercial, este perfil se acelerará constantemente y su energía no se estabilizará. La relación entre los dos se da aumentando la función de onda en una cantidad que depende del tiempo.

Para sistemas que no están restringidos, el hamiltoniano es siempre la energía total. Esto también es cierto para los sistemas donde las restricciones no agregan energía al sistema. El hamiltoniano para sistemas que suman energía suele ser explícitamente dependiente del tiempo, pero no así en el caso de que la dinámica sea independiente del tiempo desde el punto de vista de la partícula. Matemáticamente, en un sistema de este tipo, tiene una invariancia de traducción de tiempo no trivial que es una simetría, y en el caso de partículas aceleradas, esta simetría de traducción de tiempo mezcla la traducción de tiempo de marco inercial y aumenta.