El espacio de Hilbert de Chern-Simons sobre un toro, primera parte...

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El espacio de Hilbert de Chern-Simons sobre un toro, primera parte...

Física
teoría de calibre
chern-simons-theory
física-matemática
teoría cuántica de campos
teoría topológica del campo

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Hay un resultado clave en la teoría de Chern-Simons de 2+1 dimensiones, que se discutió por primera vez en la referencia 1: el espacio de Hilbert de la teoría, cuando se cuantifica en $T^2\times\mathbb R$ , es isomorfo a

\begin{matrix} (2.14) & \frac{Λ_{w}}{W ⋉ k Λ_{r}^{\lor}} \end{matrix}

$\frac{\Lambda_w}{W\ltimes k\Lambda^\vee_r}\tag{2.14}$ dónde

Λ_{w}

$\Lambda_w$ es la red de pesos del grupo calibre

G

$G$ (asumido simple y simplemente conectado),

W

$W$ el grupo Weyl de

g

$\mathfrak g$ ,

k \in Z

$k\in\mathbb Z$ el coeficiente de la forma de Chern-Simons, y

Λ_{r}^{\lor}

$\Lambda_r^\vee$ la red co-raíz de

G

$G$ .

La mayoría de los artículos de hoy en día simplemente se refieren a la referencia original o reproducen el argumento casi palabra por palabra. El problema es que no puedo seguir la referencia original y los artículos de revisión siguen exactamente el mismo razonamiento, por lo que tampoco puedo seguirlos. Tengo varias preguntas, y las dividiré en varios mensajes.

Dejar $A$ ser un $\mathfrak g$ -forma única valorada que vive en $T^2\times\mathbb R$ , y descomponerlo en sus componentes temporales y espaciales, $A=A_0\mathrm dt+\tilde A$ . Debido a las ecuaciones de movimiento, $\tilde A$ es $\tilde{\mathrm d}$ -departamento, $\tilde{\mathrm d}\tilde A+\tilde A^2\equiv 0$ , con $\mathrm d=\mathrm dt\partial_t+\tilde{\mathrm d}$ . Los autores afirman que, siendo $\tilde{\mathrm d}$ -plano, se puede descomponer como

\begin{matrix} (2.9) & \tilde{A} = - d tu {tu}^{- 1} + tu θ (t) {tu}^{- 1} \end{matrix}

$\tilde A=-\mathrm dUU^{-1}+U\theta(t) U^{-1}\tag{2.9}$ dónde

U

$U$ es un mapa de un solo valor de

T^{2} \times R

$T^2\times\mathbb R$ a

G

$G$ , y donde

θ (t)

$\theta(t)$ es un

g

$\mathfrak g$ -valorado una forma que depende de

t

$t$ solo.

¿De donde viene esto?

Los autores no ofrecen referencia ni explicación. ¿Es este un resultado general? Sirve solo para el toro? ¿Qué pasa con otras superficies? ¿Qué pasa con las conexiones planas en una variedad de dimensiones superiores?

Supongo que el problema es puramente bidimensional, y la dependencia de $t$ es paramétrico. En otras palabras, deberíamos pensar en esto como tratando de resolver $\tilde D\tilde A\equiv0$ en $T^2$ , donde todo depende implícitamente de $t$ , como parámetro. Así, la afirmación es que $\theta$ es constante sobre $T^2$ .

Referencias.

Elitzur, Moore, Schwimmer, Seiberg - Comentarios sobre la cuantización canónica de la teoría de Chern-Simons-Witten .

Respuestas (1)

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una mente curiosa · Answer 1

Departamento $G$ -conexiones principales en $X$ las transformaciones de calibre de módulo están en biyección con homomorfismos de grupo $\pi_1(X)\to G$ módulo de conjugación. La prueba de esto es "bien conocida" y se puede encontrar, por ejemplo, en el libro de Kobayashi y Nomizu sobre geometría diferencial. Una buena exposición está en el capítulo 5 de "Moduli Spaces of Flat Connections" de Daan Michiels.

La idea básica es que una conexión plana ya está determinada por su holonomía alrededor de bucles no contráctiles, ya que es trivial alrededor de bucles contráctiles debido a $\oint_\gamma A = \int_S F = 0$ dónde $\partial S = \gamma$ por alguna superficie $S$ ya través de una aplicación de Stokes (no abeliano). Debido al mismo argumento, las holonomías de los bucles homotópicos son iguales, y las clases de homotopía de los bucles no contráctiles son precisamente los elementos no triviales de $\pi_1(X)$ . Por lo tanto un homomorfismo $\pi_1(X)\to G$ es una forma ordenada de enumerar todas las holonomías no triviales.

Desde $\pi_1(T^2) = \mathbb{Z}^2$ , tal homomorfismo viene dado por dos elementos conmutantes $\Theta_1, \Theta_2\in G$ , y estos corresponden a las holonomías de la conexión a lo largo de los dos bucles básicos en $T^2$ .
Si $G$ es compacto y simplemente conectado, entonces no hay $G$ -haces principales sobre superficies orientables compactas, es decir, la forma de conexión se define globalmente, o "de valor único".

Definir $\theta_1 = \mathrm{e}^{\Theta_1}$ y $\theta_2 = \mathrm{e}^{\Theta_2}$ y hacerlo para cada segmento de tiempo, obteniendo funciones $\theta_i : \mathbb{R}\to \mathfrak{g}$ . Entonces

θ (t) = θ_{1} (t) d ϕ_{1} + θ_{2} (t) d ϕ_{2},

$\theta(t) = \theta_1(t) \mathrm{d}\phi_1 + \theta_2(t) \mathrm{d}\phi_2,$ con

d ϕ_{i}

$\mathrm{d}\phi_i$ las dos formas 1 cohomológicamente no triviales básicas en

T^{2}

$T^2$ es una conexión en

T^{2}

$T^2$ con holonomias

\exp (θ_{1} (t)), \exp (θ_{2} (t))

$\exp(\theta_1(t)),\exp(\theta_2(t))$ en cada momento.

Todo lo que queda es observar que la solución general reivindicada es simplemente una transformación de calibre general de esta conexión.

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una mente curiosa

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