Opción de filtro RLC de segundo orden y resistencia de carga

Tu seleccion$R_g=R_L=\sqrt{L/C}$da un par de polos complejo conjugado con un factor de calidad$Q_p=0.707$. Por lo tanto, este dimensionamiento le brinda un paso bajo pasivo de segundo orden con respuesta Butterworth (máximamente plana). Más que eso, se puede demostrar que para cada estructura de escalera pasiva (y su circuito es la forma más simple de una escalera) la sensibilidad a las tolerancias de las piezas está en su mínimo teórico para$R_g=R_L$(terminaciones de entrada y salida coincidentes).

"¿ Los polos complejos conjugados tienen una posición particular? "

Sí, la posición del par de polos tiene una propiedad extraordinaria: los polos están ubicados en el complejo$s$-plano con una parte real (negativa) idéntica a la parte imaginaria (Re=Img). Por lo tanto, hay un ángulo de$45^{\circ}$entre una línea que apunta al polo y el eje real.

ACTUALIZACIÓN: La función clásica de segundo orden es$H(s)=N(s)/D(s)$. Para un paso bajo tenemos$N(s)=A_o$(ganar en$\omega=0$) y$D(s)=[1+s/(\omega_pQ_p)+(s/\omega_p)^2]$.

Para encontrar el máximo de$H(s)$tenemos que escribir la magnitud de la función compleja$H(s=j\omega)$. Como siguiente paso encontramos la primera derivación (cociente diferencial) y la ponemos a cero. Entonces encontramos la frecuencia$\omega$, máximo donde$|H(j\omega)|$tiene su máximo - e insertando esta frecuencia$\omega$, max en la expresión de la magnitud$|H(j\omega)|$encontramos el VALOR del máximo, que es:

De estas expresiones podemos deducir que tenemos$\omega$,máx=0 y$|H,\text{max}|=A_o$para el caso especial$Q_p=\sqrt{0.5}=0.7071$. Esto permite la siguiente interpretación:

Para$Q_p=0.7071$no hay picos de amplitud y el máximo se alcanza en$\omega=0$. Más que eso, la respuesta de magnitud para este filtro de segundo orden tiene una característica de "máximo plano" (respuesta de Butterworth).

Creo que estás en el camino correcto: ¡polos!

Al filtrar, generalmente desea una región con la menor pérdida posible y otra región con la mayor pérdida posible. En su gráfico de Bode, cada polo de paso bajo creará una rodilla en la curva donde la pendiente cae 10 dB/década. Por lo tanto, para un filtro de orden múltiple, tener todos sus polos esencialmente a la misma frecuencia le dará la rodilla más pronunciada que separa sus regiones de banda de paso y banda de parada.

Tenga en cuenta que su denominador ahora solo tendría un +1 (no +2) si comparara la salida de la fuente (pasó la impedancia de la fuente, Rg) con la salida de carga final. Con un final de +1, su denominador se puede factorizar en (s*sqrt(LC)+1)^2, y listo, tiene dos polos exactamente en s=1/sqrt(LC)

El coeficiente de amortiguamiento,$\zeta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, que es lo más bajo posible$\zeta$valor que no produce un pico de resonancia de amplitud; es decir, da la esquina más aguda en la respuesta de frecuencia de amplitud con relación de amplitud unitaria en resonancia.