¿Cuál es la función de transferencia de los filtros RC en cascada n?

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¿Existe una formulación explícita para los filtros RC en cascada n?

Los valores de la resistencia y el condensador no son necesariamente los mismos. Asumir que:
R i ≠ R j y C i ≠ C j para i ≠ j y 1 ≤ i , j ≤ norte .

Construí un filtro de quinto grado con R i = 1 k Ω , C i = 1 m F y V i norte = 1 pecado ⁡ ( 2 π × 1 k H z ) V . La señal de salida fue casi suave durante un 1 k Ω dirigir. Y el aumento de la señal de salida era visible a simple vista cuando la entrada era una señal de paso.

Traté de encontrar la respuesta de transferencia de este filtro de quinto orden, pero después del tercer orden, el tamaño del papel A4 se volvió insuficiente para escribir las expresiones.

Creo que puede faltar tu imagen.
Me está apareciendo ... De todos modos: no existe una expresión analítica para un filtro RC de n etapas. Traté de resolver este problema hace un par de meses y se vuelve muy difícil de manejar, incluso cuando puedes generalizar R1=R2=...=Rn. La mejor manera de hacerlo es simplemente considerar cada etapa como un atenuador en forma con una impedancia de entrada y salida finita y multiplicarlas numéricamente.
¡¡Puedo verlo ahora!!

Respuestas (2)

No hay una fórmula explícita para n filtros de paso bajo RC en cascada (como ha mostrado) porque a medida que se mueve de izquierda a derecha, R2 y C2 cargan la salida de R1 y C1, lo que cambia la respuesta de R1 y C1 y porque R3 y C3 están haciendo lo mismo para R2 y C2, esto a su vez se refleja en la carga de R1 y C1.

El uso de redes de 2 puertos y matemáticas matriciales lo ayuda a resolver más fácilmente varias secciones, pero las fórmulas tienden a alargarse después de algunas secciones y resolver la frecuencia de corte y Q es muy tedioso.

La mejor solución es usar un simulador como LTSpice.

Dado que tiene un amplificador operacional en su circuito que actúa como un búfer, no sería descabellado usar esto para ayudar. Esta calculadora Sallen-Key es muy buena y le brinda la respuesta y las fórmulas para un filtro de paso bajo de segundo orden: -

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La conexión en cascada de 2 de estos probablemente le dará una mejor respuesta que la conexión en cascada de cinco filtros RC pasivos y la belleza de este método es que puede conectarlos en cascada sin interacción entre los componentes porque el amplificador operacional actúa como un búfer.

A veces me he preguntado si la subdivisión de los filtros en secciones de 2 polos es principalmente para facilitar la comprensión de lo que hace un filtro. Esperaría que agregar un polo adicional usando combos RC pasivos no produzca el rendimiento de un "polo" completo, pero si la impedancia del segundo RC es grande en relación con el primero, el rendimiento debería ser comparable. y creo que un filtro de 9 polos que usa 3 amplificadores operacionales debería poder producir un rendimiento de frecuencia de corte comparable a un filtro de 8 polos que usa cuatro, aunque no estoy seguro sobre el rendimiento de fase.
@supercat Hice lo mismo la semana pasada; tres filtros de paso bajo LCR en cascada con aproximadamente 3 veces la impedancia para las etapas posteriores. ¡Sin embargo, solo puedes empujarlo hasta cierto punto!
Ciertamente, no esperaría que un filtro RC en cascada de 16 polos funcionara muy bien, pero creo que obtener uno o dos polos adicionales en cada etapa de un filtro debería ser completamente práctico, ya que en algunas topologías de filtro una opción de baja impedancia. la salida del amplificador se alimentará a una entrada de alta impedancia, por lo que parece que se podría reemplazar una etapa RC con dos etapas que tengan una variación de impedancia de 100: 1 entre ellas, o tres etapas con una separación de impedancia de 10: 1. Incluso obtener tres polos por amplificador operacional en lugar de cuatro parecería una gran victoria.
Es más fácil hacer eso con los LCR porque las pérdidas son más pequeñas... solo resistencias de valor pequeño para controlar Q. RC es más difícil o al menos parece serlo.

El comportamiento de cualquier combinación serie-paralelo de resistencias, condensadores e inductores se puede modelar a cualquier frecuencia dada utilizando aritmética compleja al considerar cada condensador e inductor como si fuera una resistencia cuya "resistencia" [en realidad impedancia] es un número imaginario; una resistencia en serie con un capacitor se comporta así como una "resistencia" con una impedancia compleja cuya parte real proviene de la resistencia y cuya parte imaginaria proviene del capacitor. La fórmula normal para resistencias en paralelo (1/(1/R1+1/R2)) funciona igual de bien para impedancias que para resistencias simples. Usando matemáticas complejas, uno podría calcular la salida de voltaje de un filtro RC en cascada en términos de la entrada usando una fórmula que parece algo razonable. Desafortunadamente, esas fórmulas se vuelven muy complicadas si uno quiere usar números reales para calcular los componentes reales (en fase) e imaginarios (fuera de fase) de la señal final, ya que la división por un número complejo generalmente requiere normalizarlo, así que algo como (a+bj)/(c+dj) se convierte en ((ac-bd)+(bc+ad)j)/(c^2-d^2). Anidar tales expresiones muy profundamente hace que se vuelvan difíciles de manejar muy rápidamente.

Aún así, si tiene un paquete que puede manejar fácilmente las matemáticas con números complejos, debería poder generar una función de transferencia compleja y luego trazarla. Alternativamente, si tiene un simulador de circuito con una función de trazador de Bode (que estimula un circuito con varias frecuencias y traza la respuesta), puede usarlo para trazar numéricamente el comportamiento de su circuito.

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