¿Cómo calcular la función de transferencia?

La aplicación de los FACT es la forma más rápida de realizar este circuito. Es un filtro de primer orden (un elemento acumulador de energía) y su función de transferencia obedece a la siguiente expresión:

$H(s)=H_0\frac{1+s\tau_2}{1+s\tau_1}$

Los términos$\tau_1$y$\tau_2$designan respectivamente las constantes de tiempo que involucran al elemento acumulador de energía considerado (aquí está$C_1$) cuando se observa el circuito con un estímulo puesto a cero ($V_{in}=0\;V$, corta la fuente) y cuando la respuesta$V_{out}$se anula (0 V a pesar de la presencia del estímulo). Aquí, no hay cero y$\tau_2=0$.

En esta expresión,$H_0$representa la ganancia cuasiestática obtenida para$s=0$. Para determinar la función de transferencia de cd para$s=0$, abra el condensador y vuelva a dibujar el circuito:

La ganancia de cd es inmediata e igual a$H_0=\frac{R_2}{R_2+R_1}$

Ahora, para la constante de tiempo, simplemente reduzca el estímulo a 0 V y reemplace$V_{in}$por un cortocircuito. Luego, "mira" las conexiones del capacitor para determinar la resistencia. Esta es la flecha seguida de R? en el dibujo Ves una resistencia igual a:$R=(R_1||R_2)+R_3$dando lugar a una constante de tiempo$\tau_1$igual a$\tau_1=[(R_1||R_2)+R_3]C_1$. ¡Y esto es todo!

La función de transferencia se obtiene inspeccionando el circuito y aparece inmediatamente en forma de baja entropía :

$H(s)=H_0\frac{1}{1+\frac{s}{\omega_p}}$con$H_0=\frac{R_2}{R_2+R_1}$y$\omega_p=\frac{1}{[(R_1||R_2)+R_3]C_1}$

Esta es la forma correcta de escribir esta función de transferencia: un término principal y un polo claramente factorizados. Los términos paralelos no deben desarrollarse: esto es lo que da una idea de esta expresión y le permite ver de inmediato cómo evoluciona la constante de tiempo si una de las resistencias disminuye o se acerca al infinito. La trama se da a continuación:

Puede ver lo rápido que es llegar al resultado que se expresa de forma significativa en una sola toma. No hay nada malo con la forma de matriz que se muestra a continuación, pero creo que es un poco "sobredimensionada" para este circuito simple. Lemmy habría dicho "¡exagerado!".

Reddevil: sí, la función de transferencia dada (forma general) es correcta. Tal vez sea útil combinar ambas expresiones con (jwC) como factor común. En este caso, la función de transferencia asume la forma clásica H=1/(c+jwT) con c=const. y T=constante de tiempo.

Las funciones de transferencia son expresiones que representan una cantidad de salida dividida por una cantidad de entrada. No especifica una cantidad de entrada o salida aquí.

También necesita un voltaje de referencia. Los voltajes se especifican como diferencias de potencial entre puntos. Sin una referencia, no podría decir que el nodo 4 es 5 o 12 o 10000 voltios; solo podría decir que el nodo 4 es 5 o 10 o 1000 voltios mayor que el nodo 3.

Una vez que averigüe cuáles son su entrada, salida, punto de referencia y voltaje de referencia, puede proceder a encontrar la función de transferencia. Hay algunas técnicas diferentes que puede usar, pero me gusta usar el método de corriente de malla. Esbocé un ejemplo del método de corriente de malla para su circuito a continuación. Una búsqueda en Internet del método de corriente de malla le dirá cómo hacerlo. El método de corriente de malla le dará un sistema de N ecuaciones lineales donde N es el número de bucles de corriente en su red.

Puede resolver este sistema de ecuaciones lineales a mano, o puede escribirlas en forma matricial Z*I = V donde Z contiene todas sus R, C y L; I son tus bucles actuales; y V es su voltaje. Luego puede resolver las corrientes I con un solucionador de matrices como numpy en Python o MATLAB usando I = inv(Z)*V. Esta es una buena manera de verificar su respuesta o resolver redes más grandes. El siguiente enlace describe este método.

http://www.analyzemath.com/applied_mathematics/electric_circuit_1.html

Una vez que haya resuelto sus corrientes de malla, puede encontrar cualquier diferencia de voltaje. En este ejemplo, el voltaje a través de R2 es R2*(I1-I2). Ahora, si sabemos que el voltaje de referencia es 0 voltios y el punto de referencia es el nodo 2, entonces podemos decir que el voltaje en el nodo 3 es 0 + R2*(I1-I2).

Una vez que conozca la cantidad (un voltaje en este caso) en su nodo de salida, puede encontrar la función de transferencia dividiendo por su cantidad de entrada (un voltaje en este caso). Esta será una función racional, y las raíces del denominador se llaman polos y las raíces del numerador se llaman ceros. Su frecuencia de corte es el polo de su función de transferencia. Si tiene múltiples polos, tendrá múltiples frecuencias de corte si los polos son únicos. Esto tiene sentido para un filtro de paso de banda o muesca. Si los polos son iguales, es decir, el denominador de la función racional tiene raíces repetidas, entonces solo tendrá 1 frecuencia de corte pero tendrá más atenuación después de la frecuencia de corte en comparación con si solo hubiera 1 polo en la frecuencia de corte.

Obtengo la misma función de transferencia que hiciste

$H(s)=\frac{R2}{R1 + R2 + sC_1(R_1R_2+R_1R_3+R_2R_3)}$

syms R1 R2 R3 C1 s v1

% write mesh current equations
Z = [-(R2+R1) R2;
    R2 -(R2+R3+1/(s*C1))];
V = [-v1; 0];
I = inv(Z)*V;

% identify transfer function
tf = (I(2) * 1/(s*C1)) / v1;

% solve poles and zeros
[num,den] = numden(tf);
zeros = solve(num,s); % there are no zeros
poles = solve(den,s);

% numerical evaluation
vars = [R1 R2 R3 C1];
numVars = [100 1e3 1.24e3 1e-9];
cutoff = vpa(subs(poles(1), vars, numVars));