¿Ayuda a derivar la función de transferencia de un circuito LC?

Si haces el álgebra (es increíble lo que la gente hará en el encierro, por supuesto) obtienes la siguiente función de transferencia: -

$$H(s) = \dfrac{1}{s^3LC_1C_2R + s^2LC_2 + sR(C_1+C_2) + 1}$$

Y solo para demostrar que es correcto, utilicé micro-cap 12 y el siguiente circuito: -

Dentro del cuadro rojo está el voltaje de CA de entrada que se puede cambiar de frecuencias bajas a altas. A la izquierda de eso está el circuito convencional formado por R, L, C1 y C2.

A la derecha tenemos el solucionador de funciones de Laplace de micro-caps 12. Ambos circuitos son alimentados desde V1 (caja roja).

Comparando ambos diagramas de Bode obtenemos resultados superpuestos idénticos: -

Si esto ayuda, entonces eso es bueno. Si necesita la derivación del TF anterior, pregunte. Supongo que no duele publicar mis cálculos manuales razonablemente legibles: -

Esta función de transferencia se puede obtener utilizando análisis de fuerza bruta o las técnicas de circuito analítico rápido conocidas como FACT. Para el enfoque de fuerza bruta, puede considerar un generador de Thévenin con el primer$RC$filtro que conduce el$LC$red. Si haces bien los cálculos, deberías encontrar:

Luego desarrolla todos los términos y los reorganiza para formar un polinomio de tercer orden para revelar frecuencias resonantes y de corte. La otra opción es usar los FACT que lo llevarán a los valores de los coeficientes de una sola vez, sin ecuaciones y con el riesgo de cometer errores al desarrollar la expresión anterior. Simplemente realice la determinación de las constantes de tiempo como se muestra en el siguiente dibujo y encontrará la función de transferencia muy rápidamente:

Reúna las constantes de tiempo en una hoja de Mathcad e intente factorizar el polinomio de tercer orden con un filtro de primer orden que domine la respuesta de baja frecuencia:

Y finalmente puede trazar la respuesta de CA. Tenga en cuenta la divergencia de la expresión factorizada. Esto se debe a que el$RC$la frecuencia de corte está demasiado cerca de los polos dobles incurridos por el$LC$filtrar. Creciente$R_1$a 100$\Omega$da un mejor ajuste:

Primero, presentaré un método que usa Mathematica para resolver este problema. Cuando estaba estudiando estas cosas, usaba el método todo el tiempo (sin usar Mathematica, por supuesto).

Bueno, estamos tratando de analizar el siguiente circuito:

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

Cuando usamos y aplicamos KCL , podemos escribir el siguiente conjunto de ecuaciones:

$$\text{I}_1=\text{I}_2+\text{I}_3\tag1$$

Cuando usamos y aplicamos la ley de Ohm , podemos escribir el siguiente conjunto de ecuaciones:

$$\begin{cases} \text{I}_1=\frac{\text{V}_\text{i}-\text{V}_1}{\text{R}_1}\\ \\ \text{I}_2=\frac{\text{V}_1}{\text{R}_2}\\ \\ \text{I}_3=\frac{\text{V}_1-\text{V}_2}{\text{R}_3}\\ \\ \text{I}_3=\frac{\text{V}_2}{\text{R}_4} \end{cases}\tag2$$

Sustituto$(2)$en$(1)$, para obtener:

$$\begin{cases} \frac{\text{V}_\text{i}-\text{V}_1}{\text{R}_1}=\frac{\text{V}_1}{\text{R}_2}+\frac{\text{V}_1-\text{V}_2}{\text{R}_3}\\ \\ \frac{\text{V}_\text{i}-\text{V}_1}{\text{R}_1}=\frac{\text{V}_1}{\text{R}_2}+\frac{\text{V}_2}{\text{R}_4} \end{cases}\tag3$$

Ahora, podemos resolver para la función de transferencia:

$$\mathcal{H}:=\frac{\text{V}_2}{\text{V}_\text{i}}=\frac{\text{R}_2\text{R}_4}{\text{R}_1\left(\text{R}_2+\text{R}_3+\text{R}_4\right)+\text{R}_2\left(\text{R}_3+\text{R}_4\right)}\tag4$$

Donde utilicé el siguiente código de Mathematica:

In[1]:=Clear["Global`*"];
FullSimplify[
 Solve[{I1 == I2 + I3, I1 == (Vi - V1)/R1, I2 == V1/R2, 
   I3 == (V1 - V2)/R3, I3 == V2/R4}, {I1, I2, I3, V1, V2}]]

Out[1]={{I1 -> ((R2 + R3 + R4) Vi)/(R2 (R3 + R4) + R1 (R2 + R3 + R4)), 
  I2 -> ((R3 + R4) Vi)/(R2 (R3 + R4) + R1 (R2 + R3 + R4)), 
  I3 -> (R2 Vi)/(R2 (R3 + R4) + R1 (R2 + R3 + R4)), 
  V1 -> (R2 (R3 + R4) Vi)/(R2 (R3 + R4) + R1 (R2 + R3 + R4)), 
  V2 -> (R2 R4 Vi)/(R2 (R3 + R4) + R1 (R2 + R3 + R4))}}

---

Cuando queremos aplicar la derivación de arriba a su circuito, necesitamos usar la transformada de Laplace (usaré nombres de funciones en minúsculas para las funciones que están en el dominio s (complejo), entonces$\text{y}\left(\text{s}\right)$es la transformada de Laplace de la función$\text{Y}\left(t\right)$):

• $$\text{R}_2=\frac{1}{\text{sC}_1}\tag5$$
• $$\text{R}_3=\text{sL}\tag6$$
• $$\text{R}_4=\frac{1}{\text{sC}_2}\tag7$$

Entonces, podemos reescribir la función de transferencia como:

$$\mathscr{H}\left(\text{s}\right)=\frac{\frac{1}{\text{sC}_1}\cdot\frac{1}{\text{sC}_2}}{\text{R}_1\left(\frac{1}{\text{sC}_1}+\text{sL}+\frac{1}{\text{sC}_2}\right)+\frac{1}{\text{sC}_1}\cdot\left(\text{sL}+\frac{1}{\text{sC}_2}\right)}=$$ $$\frac{1}{\text{C}_1\text{C}_2\text{L}\text{R}_1\text{s}^3+\text{C}_2\text{L}\text{s}^2+\text{R}_1\left(\text{C}_1+\text{C}_2\right)\text{s}+1}\tag8$$

Ahora, cuando trabajemos con señales sinusoidales podemos usar$\text{s}:=\text{j}\omega$(dónde$\text{j}^2=-1$y$\omega=2\pi\text{f}$con$\text{f}$es la frecuencia de la señal de entrada en Hertz). Entonces obtenemos:

$$\underline{\mathscr{H}}\left(\text{j}\omega\right)=\frac{1}{\text{C}_1\text{C}_2\text{L}\text{R}_1\left(\text{j}\omega\right)^3+\text{C}_2\text{L}\left(\text{j}\omega\right)^2+\text{R}_1\left(\text{C}_1+\text{C}_2\right)\text{j}\omega+1}=$$ $$\frac{1}{-\text{C}_1\text{C}_2\text{L}\text{R}_1\omega^3\text{j}-\text{C}_2\text{L}\omega^2+\text{R}_1\left(\text{C}_1+\text{C}_2\right)\omega\text{j}+1}=$$ $$\frac{1}{1-\text{C}_2\text{L}\omega^2+\text{R}_1\omega\left(\text{C}_1+\text{C}_2\left(1-\text{C}_1\text{L}\omega^2\right)\right)\text{j}}\tag9$$

Entonces, el valor absoluto de la función de transferencia viene dado por:

$$\left|\underline{\mathscr{H}}\left(\text{j}\omega\right)\right|=\frac{1}{\sqrt{\left(1-\text{C}_2\text{L}\omega^2\right)^2+\left(\text{R}_1\omega\left(\text{C}_1+\text{C}_2\left(1-\text{C}_1\text{L}\omega^2\right)\right)\right)^2}}\tag{10}$$