Función de transferencia del filtro de paso alto a través de la función de respuesta de impulso

Question

Función de transferencia del filtro de paso alto a través de la función de respuesta de impulso

filtrar
Física
paso bajo
respuesta escalonada
función de transferencia

Mussé Redi

Tengo dificultades para calcular la función de transferencia de un filtro RC de paso alto, tomando la transformada de Fourier de su función de respuesta de impulso:

H (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} h (t) {mi}^{- i ω t} = \frac{- 1}{1 + i ω R C},

$H(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} h(t)e^{-i\omega t}\ = \frac{-1}{1+i\omega RC},$ que es la función de transferencia correspondiente a una función de transferencia de paso bajo .

Obtuve su función de respuesta de impulso tomando la derivada de su función de respuesta de paso

h (t) = \frac{d}{d t} {mi}^{- t / R C} = \frac{- 1}{R C} {mi}^{- t / R C} .

$h(t) = \frac{d}{dt} e^{-t/RC} = \frac{-1}{RC} e^{-t/RC}\ .$

La función de paso

s (t) = {mi}^{- t / R C}

$s(t) = e^{-t/RC}$ se obtiene resolviendo la ecuación diferencial que resulta de igualar las expresiones de la corriente a través del resistor y el capacitor, respectivamente.

Chu

Su primera ecuación es un TF de paso bajo. Su s(t) también es incorrecto para una respuesta de paso.

Mussé Redi

\underset{ω \to \infty}{límite} | H (ω) | = \underset{ω \to \infty}{límite} \frac{1}{\sqrt{1 + (ω R C)^{2}}} = 1.

$\lim_{\omega \to \infty} |H(\omega)| = \lim_{\omega \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}} = 1.$ Por eso,

H (ω) = \frac{- 1}{1 + i ω R C}

$H(\omega) = \frac{-1}{1+i \omega RC}$ es un TF de paso alto. En la respuesta del paso

s (t) = {mi}^{- t / R C}

$s(t)=e^{-t/RC}$ . En

t = 0

$t=0$ todo el voltaje está sobre la resistencia, ya que el capacitor comienza a cargarse. Esto cumple con la función de respuesta de paso. Si estuviéramos midiendo el voltaje sobre el capacitor, tendríamos

s (t) = 1 - {mi}^{- t / R C}

$s(t) = 1-e^{-t/RC}$ .

Andy alias

@MusséRedi incorrecto: ese es un TF de paso bajo.

Mussé Redi

@Andyaka No importa, por supuesto, tienes razón; ¡Gracias por mencionarlo! No sé por qué cometí ese error de cálculo antes.

\underset{ω \to \infty}{límite} | H (ω) | = 0

$\lim_{\omega \to \infty} |H(\omega)| = 0$ en efecto. :)

Mussé Redi

@Andyaka ¿Podría explicar por qué la respuesta de paso?

s (t) = {mi}^{- t / R C}

$s(t) = e^{-t/RC}$ ¿Está Mal?

Mussé Redi

He hecho una corrección importante. Estoy tratando de calcular la función de transferencia de un filtro de paso alto , a través de su función de respuesta de impulso. El problema es que parece que estoy calculando la función de transferencia para un filtro de paso bajo , por alguna razón.

Andy alias

Estoy confundido por la pregunta. En el dominio s, un impulso es 1, por lo tanto, el TF de paso alto sigue siendo exactamente el de un paso alto. No entiendo a dónde vas con esto.

un ciudadano preocupado

@MusséRedi Prueba algo como s/(s+1), mira a dónde estás llegando.

Mussé Redi

@Andyaka El primer problema que quiero resolver es ver por qué mi función de respuesta de paso es incorrecta.

Mussé Redi

@aconcernedcitizen ¿Qué quiere decir con probar algo como s/(s+1) ? Mi objetivo es calcular la función de transferencia a través de Fourier transformando la respuesta de impulso del filtro.

Chu

h(t), como dedujiste, es la inversa de la función de transferencia; por lo tanto, es la respuesta de impulso, no la respuesta de paso. No puede declarar arbitrariamente que h(t) es una respuesta escalonada cuando esa declaración no está respaldada por las ecuaciones anteriores.

usuario103380

Es muy tabú en ingeniería eléctrica usar

i

$i$ como su número imaginario... considere usar

j

$j$ en cambio :) no quieres confundir

i

$i$ para corriente... Es por eso que los ingenieros eléctricos usan

j

$j$ como números imaginarios.

Mussé Redi

@KingDuken Claro, mi texto lo usa indistintamente. Pero, supongo que tienes razón en ser consistente. :)

usuario103380

Supongo que tienen un símbolo diferente para LOL actual... tal vez...

I

$I$ ?

Mussé Redi

@KingDuken No,

I

$I$ se utiliza para la transformada de Fourier de la corriente. :)

Respuestas (1)

Función de transferencia del filtro de paso alto a través de la función de respuesta de impulso

Su primera ecuación es un TF de paso bajo. Su s(t) también es incorrecto para una respuesta de paso.
$\underset{ω \to \infty}{límite} | H (ω) | = \underset{ω \to \infty}{límite} \frac{1}{\sqrt{1 + (ω R C)^{2}}} = 1.$ $\lim_{\omega \to \infty} |H(\omega)| = \lim_{\omega \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}} = 1.$ Por eso, $H (ω) = \frac{- 1}{1 + i ω R C}$ $H(\omega) = \frac{-1}{1+i \omega RC}$ es un TF de paso alto. En la respuesta del paso $s (t) = {mi}^{- t / R C}$ $s(t)=e^{-t/RC}$ . En $t = 0$ $t=0$ todo el voltaje está sobre la resistencia, ya que el capacitor comienza a cargarse. Esto cumple con la función de respuesta de paso. Si estuviéramos midiendo el voltaje sobre el capacitor, tendríamos $s (t) = 1 - {mi}^{- t / R C}$ $s(t) = 1-e^{-t/RC}$ .
@Andyaka No importa, por supuesto, tienes razón; ¡Gracias por mencionarlo! No sé por qué cometí ese error de cálculo antes. $\underset{ω \to \infty}{límite} | H (ω) | = 0$ $\lim_{\omega \to \infty} |H(\omega)| = 0$ en efecto. :)
@Andyaka ¿Podría explicar por qué la respuesta de paso? $s (t) = {mi}^{- t / R C}$ $s(t) = e^{-t/RC}$ ¿Está Mal?
He hecho una corrección importante. Estoy tratando de calcular la función de transferencia de un filtro de paso alto , a través de su función de respuesta de impulso. El problema es que parece que estoy calculando la función de transferencia para un filtro de paso bajo , por alguna razón.
Estoy confundido por la pregunta. En el dominio s, un impulso es 1, por lo tanto, el TF de paso alto sigue siendo exactamente el de un paso alto. No entiendo a dónde vas con esto.
@MusséRedi Prueba algo como s/(s+1), mira a dónde estás llegando.
@Andyaka El primer problema que quiero resolver es ver por qué mi función de respuesta de paso es incorrecta.
@aconcernedcitizen ¿Qué quiere decir con probar algo como s/(s+1) ? Mi objetivo es calcular la función de transferencia a través de Fourier transformando la respuesta de impulso del filtro.
h(t), como dedujiste, es la inversa de la función de transferencia; por lo tanto, es la respuesta de impulso, no la respuesta de paso. No puede declarar arbitrariamente que h(t) es una respuesta escalonada cuando esa declaración no está respaldada por las ecuaciones anteriores.
Es muy tabú en ingeniería eléctrica usar $i$ como su número imaginario... considere usar $j$ en cambio :) no quieres confundir $i$ para corriente... Es por eso que los ingenieros eléctricos usan $j$ como números imaginarios.
@KingDuken Claro, mi texto lo usa indistintamente. Pero, supongo que tienes razón en ser consistente. :)
Supongo que tienen un símbolo diferente para LOL actual... tal vez... $I$ ?
@KingDuken No, $I$ se utiliza para la transformada de Fourier de la corriente. :)

un ciudadano preocupado · Answer 1

Si considera el paso alto RC simple:

Entonces puedes escribir las dos ecuaciones de E/S:

v_{i} (t) = v_{C} (t) + v_{R} (t)

$v_i(t)=v_C(t)+v_R(t)$

v_{o} (t) = v_{R} (t)

$v_o(t)=v_R(t)$

Considerando i(t) la corriente a través del circuito (sin carga) y v _C (t) el voltaje a través de C:

v_{i} (t) = \frac{1}{C} \int i (t) d t + R i (t)

$v_i(t)=\frac{1}{C}\int{i(t)\text{d}t}+R i(t)$

v_{o} (t) = R i (t)

$v_o(t)=R i(t)$

Aplique la transformada de Laplace a la primera, siendo I(s) la transformada de Laplace de i(t):

V_{i} (s) = \frac{1}{s C} I (s) + R I (s) = I (s) (R + \frac{1}{s C}) =>

$V_i(s)=\frac{1}{sC}I(s)+R I(s)=I(s)\left(R+\frac{1}{sC}\right)=>$

I (s) = \frac{V_{i} (s)}{R + \frac{1}{s C}}

$I(s)=\frac{V_i(s)}{R+\frac{1}{sC}}$

La misma transformada de Laplace para los rendimientos de salida:

V_{o} (s) = R I (s) = \frac{V_{i} (s) R}{R + \frac{1}{s C}} =>

$V_o(s)=R I(s)=\frac{V_i(s)R}{R+\frac{1}{sC}}=>$

\frac{V_{o} (s)}{V_{i} (s)} = \frac{R}{R + \frac{1}{s C}} = \frac{R}{\frac{s R C + 1}{s C}} = \frac{s R C}{s R C + 1} = \frac{s}{s + \frac{1}{R C}}

$\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{R}{R+\frac{1}{sC}}=\frac{R}{\frac{sRC+1}{sC}}=\frac{sRC}{sRC+1}=\frac{s}{s+\frac{1}{RC}}$

Es por eso que dije que debería ser algo como s/(s+1). Ahora, si haces algunas transformadas inversas de Laplace, terminarás con una respuesta de impulso interesante. Primero, organice en fracciones parciales estrictamente propias:

\frac{s}{s + \frac{1}{R C}} = 1 - \frac{\frac{1}{R C}}{s + \frac{1}{R C}}

$\frac{s}{s+\frac{1}{RC}}=1-\frac{\frac{1}{RC}}{s+\frac{1}{RC}}$

Y ahora ves que 1 es la transformada de Laplace del impulso de Dirac, más el resto, que es el RC de paso bajo con la respuesta de impulso $1-exp(-\frac{t}{RC})$ , y es posible que tenga la tentación de cancelar los 1, pero el primero es el $\delta$ (t), y la derivada de la respuesta escalonada es $\frac{exp(-\frac{t}{RC})}{RC}$ , lo que da como resultado la respuesta de impulso total (el punto desde el que debería haber comenzado):

v_{o} (t) = d (t) - \frac{mi X pag (- \frac{t}{R C})}{R C}

$v_o(t)=\delta(t)-\frac{exp(-\frac{t}{RC})}{RC}$

Aquí está la confirmación (el impulso de entrada es pulse 0 1k 0 1n 1n 1m-- 1kV sobre 1ms):

y aquí hay un zoom en el eje Y:

Esta es una de las razones por las que no funcionó, omitió las condiciones iniciales y la influencia del impulso de Dirac: en t<0 todo es cero (condiciones nulas), en t=0 el capacitor (ideal) se carga con la entrada , la derivada del voltaje aplicado, $\delta$ (t), pero el voltaje de entrada no es solo un aumento, también es una caída, ambos al mismo tiempo (Dirac o, como lo llamaban sus amigos, Chuck Norris), por lo que el voltaje a través del capacitor retrocede y luego llega a su negativo pico, después de lo cual ocurre la descarga.

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Respuestas (1)

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