Si bien estoy bastante familiarizado con la mecánica cuántica no relativista, recientemente comencé a profundizar en QM relativista, mi principal referencia es la "Mecánica cuántica avanzada" de Sakurai (capítulo 3 específicamente, que trata sobre partículas de espín 1/2). Creo que entendí los argumentos matemáticos básicos de por qué el estado de tales partículas en un régimen relativista tiene que ser descrito por un objeto de cuatro componentes (el espinor de Dirac). Lo que no entiendo es cómo "volver" al espinor de dos componentes de Pauli-Schrödinger. Más concretamente: dado un espinor de Dirac, ¿cómo puedo encontrar el espinor de Pauli correspondiente?
Por las palabras de Sakurai, ya sé que en el régimen no relativista los dos componentes superiores del espinor de Dirac coinciden con el espinor de Pauli-Schrödinger, por lo que si entiendo correctamente, podría (en este régimen) "desechar" la mitad inferior del espinor y obtener el estado de dos componentes que quiero. Pero en el caso general, no veo indicios de cómo puedo encontrar tal correspondencia, e incluso SI existe tal correspondencia.
Ahora, mi primera suposición sería que, a medida que las velocidades se vuelven relativistas, los otros dos componentes se vuelven más importantes y relevantes, y tendrías que abandonar la descripción de los 2 componentes por completo. Mi problema con eso es que, en este artículo de A. Peres, PF Scudo y DR Terno: https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.88.230402 hacen un tratamiento relativista de un spin- 1/2 partícula utilizando funciones de onda de dos componentes, que parecen coincidir con el espinor de Pauli no relativista habitual. De hecho, la referencia del libro de texto del artículo (F. Halpern's "Special Relativity and Quantum Mechanics") da "representaciones de dos por dos" de las transformaciones de Lorentz, que parecen ser matrices SU(2) que actúan sobre una función de onda de dos componentes. . Peres et al.parece usarlo de esta manera al menos.
Entonces, ¿qué me estoy perdiendo aquí?
Creo que su último párrafo realmente da en el punto clave aquí; en un sentido formal, absolutamente no se puede pasar de la función de onda de espinor de cuatro componentes a una función de dos componentes. Pero, como también señaló correctamente, los componentes de energía negativa de la función de onda del espinor se suprimen en el límite no relativista . Por lo tanto, descartamos estos términos, ya que ya no nos sirven de nada, y obtenemos la ecuación de Pauli-Schrodinger exactamente como dijiste. Entonces, en la medida en que estamos saliendo del límite relativista, el espinor de Pauli ES el espinor de Dirac, o al menos las piezas que corresponden a valores propios de energía positiva y no están siendo suprimidas. Últimamente he estado trabajando en muchos de estos detalles, así que espero que esto ayude.