Función de onda de un electrón

El espinor de Dirac de 4 componentes$\psi$se forma apilando dos espinores de Lorentz de dos componentes$\xi^{A},\eta^{\dot{B}}$. La ecuación de Dirac es el par de ecuaciones acopladas,

$$\hat{p}^{A}_{\dot{B}}\eta^{\dot{B}}=m\xi^{A}$$ $$\hat{p}^{\dot{A}}_{B}\xi^{B}=m\eta^{\dot{A}}$$ dónde $p^{A}_{\dot{B}}$es equivalente al operador de momento relativista $\hat{p}_{\mu}=i\partial/\partial x^{\mu}$. La forma de espinor del operador de cantidad de movimiento se puede escribir, $$\hat{p}^{A}_{\dot{B}}=2i\frac{\partial}{\partial X^{\dot{B}}_{A}}$$ y el tensor hermitiano $X^{\dot{A}}_{B}$es equivalente al punto del espacio-tiempo $x^{\mu}$. Ahora pruebe la onda plana ansatz, $$\xi^{A}=u^{A}\exp(iK^{C}_{\dot{D}}X^{\dot{D}}_{C}/2)$$ $$\eta^{\dot{A}}=v^{\dot{A}}\exp(iK^{C}_{\dot{D}}X^{\dot{D}}_{C}/2)$$ dónde $u$y $v$son espinores constantes. Sustituyendo en la ecuación de Dirac, $$mv^{\dot{A}}=-u^{B}K^{\dot{A}}_{B}$$ muestra que (en este caso) el $v$espinor se fija por la elección de la $u$espinor: solo dos de los cuatro componentes del espinor de Dirac son libres. El número de onda se encuentra poniendo la última ecuación en la ecuación de Dirac, $$m^{2}v^{\dot{A}}=v^{\dot{C}}K^{\dot{A}}_{B}K^{B}_{\dot{C}}=v^{\dot{C}}k_{\mu}k^{\mu}\delta^{\dot{A}}_{\dot{C}}=v^{\dot{A}}k_{\mu}k^{\mu} \ .$$ Entonces, los dos componentes $\eta^{\dot{A}}$son fijados por la elección del $\xi^{A}$.