Obtención de ecuaciones de movimiento para un sistema de átomo y plasmón de tres niveles

Estoy interesado en un escenario en el que un átomo de tres niveles (tipo cascada/escalera) interactúa con una nanopartícula metálica esférica (MNP) con excitaciones plasmónicas individuales. Supongamos que los estados fundamental, primero excitado y segundo excitado del átomo vienen dados por$|S1\rangle$,$|S2\rangle$y$|S3\rangle$formando una base completa para el espacio de Hilbert del átomo, y los operadores de creación y aniquilación del modo plasmónico MNP están dados por$\hat{a}^\dagger = |N\rangle \langle0|$y$\hat{a}=|0\rangle \langle N|$. Un campo de bombeo incoherente ($P_{13}$) se aplica entre niveles$|S1\rangle$y$|S3\rangle$del átomo Un campo de sonda coherente$E_{pr}=E_{0pr}(e^{i\omega_{pr}t}+e^{-i\omega_{pr}t})$se aplica entre los niveles$|S2\rangle$y$|S3\rangle$. Los niveles$|S1\rangle$y$|S2\rangle$experimentan un acoplamiento dipolo-dipolo con el campo plasmónico. Se encontró que la imagen de interacción hamiltoniana del sistema es

$$H_{sys}=\hbar\Delta_1\hat{a}^\dagger\hat{a} + \hbar\Delta_1|S1\rangle \langle S1| +\hbar\Delta_2|S3\rangle \langle S3|+i\hbar g(\hat{\sigma}_{12}\hat{a}^\dagger - \hat{\sigma}_{12}^\dagger\hat{a})-E_{0pr}\mu_{23}(\hat{\sigma}^{\dagger}_{23}+\hat{\sigma}_{23})$$ dónde $\Delta_1=\omega_{plasmon}-\omega_{(\langle S2|-\langle S1|)}$y $\Delta_2=\omega_{(\langle S3|-\langle S2|)}-\omega_{pr}$, $g$es una constante de acoplamiento, $\mu_{23}$es el momento dipolar entre $|S2\rangle$, $|S3\rangle$, $\hat{\sigma}$y $\hat{\sigma}^{\dagger}$representan los operadores atómicos de descenso y aumento entre los niveles correspondientes.

La dinámica cuántica completa del nanosistema acoplado se derivó utilizando la ecuación maestra para el operador de densidad de imagen de interacción como:

$$\frac{\partial\hat{\rho}}{\partial t}=\frac{i}{\hbar}\left[\hat{\rho},H_{sys}\right]+\mathcal{L}_m+\mathcal{L}_{12}+\mathcal{L}_{23}+\mathcal{L}_p$$

dónde$\mathcal{L}_m, \mathcal{L}_{12},\mathcal{L}_{23}$son los términos de Lindblad para el decaimiento del modo plasmón y los niveles atómicos respectivamente y$\mathcal{L}_p$es el término de Lindblad para la bomba incoherente.

$\textbf{Question:}$Tengo la intención de encontrar las ecuaciones de movimiento para los valores esperados de los operadores de aniquilación atómica y plasmón ($\langle \hat{a} \rangle$,$\langle \hat{\sigma}_{12} \rangle$,$\langle \hat{\sigma}_{23} \rangle$). Dado que el átomo es un sistema de tres niveles y los operadores de plasmón son de dos niveles, ¿es posible usar la traza de la siguiente manera para este propósito?

P.ej:$\frac{\partial \langle \hat{a} \rangle}{\partial t} = Tr\left[ \langle \hat{a} \rangle \frac{\partial \langle \hat{\rho} \rangle}{\partial t}\right]$,$\frac{\partial \langle \hat{\sigma}_{12} \rangle}{\partial t} = Tr\left[ \langle \hat{\sigma}_{12} \rangle \frac{\partial \langle \hat{\rho} \rangle}{\partial t}\right]$

(Tengo la intención de usar la propiedad cíclica de la traza, las relaciones del conmutador bosónico y la ortogonalidad de los estados atómicos para simplificar lo anterior). Si esto no parece un enfoque válido, sería de mucha ayuda si pudiera mencionar el enfoque que debería llévame o guíame a un cálculo similar disponible en línea. Gracias