Segunda cuantización y diagonalización hamiltoniana.

Question

Segunda cuantización y diagonalización hamiltoniana.

caims

Entonces quiero diagonalizar mi hamiltoniano (es hamiltoniano bosónico) que es:

$H=(E+\Delta)a^{\dagger}a + 1/2\Delta(a^{\dagger}a^{\dagger} + aa)$

Mi clase no cubrió este material, así que realmente no sé cómo proceder. Estaría agradecido por cualquier literatura que cubra estos temas y un libro de problemas con soluciones también sería genial.

Lo que traté de hacer fue escribir mi hamiltoniano en forma de matriz, que sería: $\begin{pmatrix} 1/2 \Delta & 1/2(E+\Delta) \\ 1/2(E+\Delta) & 1/2 \Delta \\ \end{pmatrix}$

Y luego diagonalizarlo, encontrar estados propios, etc. ¿Es esta la forma correcta?

caims

Por supuesto, son operadores de aniquilación y creación (son bosónicos, olvidé mencionar eso). Desconozco la dimensión pero el hamiltoniano actúa sobre cualquier estado

| ϕ >

$|\phi>$ .

Meng Cheng

Quiere encontrar un nuevo operador de aniquilación

b

$b$ , que es una combinación lineal de

a

$a$ y

a^{†}

$a^\dagger$ , tal que

[b, H] = E b

$[b, H]=E b$ dónde

E

$E$ será la energía propia.

caims

¿Pero por qué? ¿Pueden dirigirme a alguna fuente/libro?

gentil

@MengCheng Esa es una forma muy poco natural de definir los estados de ánimo de un operador, ¿no crees?

Meng Cheng

@GennaroTedesco No lo encuentro inusual en absoluto.

Sebastián Riese

@GennaroTedesco Esto se llama transformación de Bogoliubov y es bastante común y necesario para los hamiltonianos que contienen términos

a a

$aa$ y

a^{†} a^{†}

$a^\dagger a^\dagger$ (típicamente hamiltonianos de campo medio) como el hamiltoniano BCS o hamiltonianos para excitaciones de un condensado de Bose-Einstein.

gentil

La transformación de Bogoliubov debe definirse correctamente tensorizando con la identidad adecuada, por lo que su formulación completa es un poco más complicada de lo mostrado. Además, objeté la expresión dada por Meng porque eso realmente no encuentra los estados propios, sino que solo reescribe el hamiltoniano de una manera más adecuada.

Sebastián Riese

@GennaroTedesco Estoy de acuerdo en que el comentario realmente no ayuda a encontrar la solución (y está incompleto). Sin embargo, la forma de resolver este ejercicio es obviamente mediante la transformación de Bogoliubov. Pero

[b, H] = E b

$[b, H] = Eb$ simplemente es una consecuencia de

H = E b^{†} b = E n

$H = E b^\dagger b = En$ .

gentil

Nuevamente, mi única objeción fue sobre la escritura formal de la transformación de Bogoliubov, que debe definirse correctamente en dominios comunes, etc. Escribiendo

a + a^{†}

$a+a^{\dagger}$ sin ninguna otra receta es incorrecta (porque los dos operadores tienen diferentes dominios y diferentes co-dominios, me pregunto cómo sumas los resultados entonces).

Meng Cheng

No entiendo las objeciones. Por supuesto

[b, H] = E b

$[b,H]=Eb$ es una consecuencia de

H = E b^{†} b

$H=Eb^\dagger b$ , eso es exactamente lo que necesitas encontrar

b

$b$ y

E

$E$ desde que sabemos

b

$b$ debe ser una combinación lineal de

a

$a$ y

a^{†}

$a^\dagger$ Si no lo cree, simplemente use esta relación y calcule las ecuaciones resultantes.

Sebastián Riese

@GennaroTedesco Tal vez estoy demasiado cansado, pero no veo el problema. ¿Por qué tienen diferentes dominios?

a | 0 ⟩ = 0

$a\left| 0 \right> = 0$ . De hecho, para el oscilador armónico

x \propto a + a^{†}

$x \propto a + a^\dagger$ . (Y un oscilador armónico no es más que un campo bosónico libre de 0d). (De hecho, tienen co-dominios diferentes, pero también

0

$0$ y

1

$1$ ). Pero los resultados son de un espacio lineal, por lo que siempre puedes sumarlos (ya sea el espacio de Fock o lo que sea).

gentil

Una vez más, vea mis comentarios arriba y debajo de las otras respuestas. No estoy objetando los resultados, estoy objetando las definiciones de

a + a^{†}

$a+a^{\dagger}$ en el espacio de Fock (indique dominios, acciones y codominios). Además, la segunda cuantización del espacio de Fock no es equivalente al oscilador armónico exactamente debido al problema con las sumas directas de los espacios de Hilbert (que no aparece en este último).

Sebastián Riese

Puede haber algunas sutilezas que estoy ignorando, pero no entiendo cuáles son.

a

$a$ y

a^{†}

$a^\dagger$ son operadores lineales en el espacio de Fock lineal. Por lo tanto puedo agregarlos.

gentil

El espacio de Fock no es solo un espacio de Hilbert; es la suma directa infinita de diferentes espacios de Hilbert (ver todos mis comentarios y mi respuesta). La acción del

a, a^{†}

$a, a^{\dagger}$ está singularmente definido en esos espacios de Hilbert solamente y necesita ser pegado de una manera adecuada para ser aplicado a toda la suma directa infinita (es decir, el espacio de Fock).

Respuestas (3)

Segunda cuantización y diagonalización hamiltoniana.

Por supuesto, son operadores de aniquilación y creación (son bosónicos, olvidé mencionar eso). Desconozco la dimensión pero el hamiltoniano actúa sobre cualquier estado $|\phi>$ .
Quiere encontrar un nuevo operador de aniquilación $b$ , que es una combinación lineal de $a$ y $a^\dagger$ , tal que $[b, H]=E b$ dónde $E$ será la energía propia.
@MengCheng Esa es una forma muy poco natural de definir los estados de ánimo de un operador, ¿no crees?
@GennaroTedesco Esto se llama transformación de Bogoliubov y es bastante común y necesario para los hamiltonianos que contienen términos $aa$ y $a^\dagger a^\dagger$ (típicamente hamiltonianos de campo medio) como el hamiltoniano BCS o hamiltonianos para excitaciones de un condensado de Bose-Einstein.
La transformación de Bogoliubov debe definirse correctamente tensorizando con la identidad adecuada, por lo que su formulación completa es un poco más complicada de lo mostrado. Además, objeté la expresión dada por Meng porque eso realmente no encuentra los estados propios, sino que solo reescribe el hamiltoniano de una manera más adecuada.
@GennaroTedesco Estoy de acuerdo en que el comentario realmente no ayuda a encontrar la solución (y está incompleto). Sin embargo, la forma de resolver este ejercicio es obviamente mediante la transformación de Bogoliubov. Pero $[b, H] = Eb$ simplemente es una consecuencia de $H = E b^\dagger b = En$ .
Nuevamente, mi única objeción fue sobre la escritura formal de la transformación de Bogoliubov, que debe definirse correctamente en dominios comunes, etc. Escribiendo $a+a^{\dagger}$ sin ninguna otra receta es incorrecta (porque los dos operadores tienen diferentes dominios y diferentes co-dominios, me pregunto cómo sumas los resultados entonces).
No entiendo las objeciones. Por supuesto $[b,H]=Eb$ es una consecuencia de $H=Eb^\dagger b$ , eso es exactamente lo que necesitas encontrar $b$ y $E$ desde que sabemos $b$ debe ser una combinación lineal de $a$ y $a^\dagger$ Si no lo cree, simplemente use esta relación y calcule las ecuaciones resultantes.
@GennaroTedesco Tal vez estoy demasiado cansado, pero no veo el problema. ¿Por qué tienen diferentes dominios? $a\left| 0 \right> = 0$ . De hecho, para el oscilador armónico $x \propto a + a^\dagger$ . (Y un oscilador armónico no es más que un campo bosónico libre de 0d). (De hecho, tienen co-dominios diferentes, pero también $0$ y $1$ ). Pero los resultados son de un espacio lineal, por lo que siempre puedes sumarlos (ya sea el espacio de Fock o lo que sea).
Una vez más, vea mis comentarios arriba y debajo de las otras respuestas. No estoy objetando los resultados, estoy objetando las definiciones de $a+a^{\dagger}$ en el espacio de Fock (indique dominios, acciones y codominios). Además, la segunda cuantización del espacio de Fock no es equivalente al oscilador armónico exactamente debido al problema con las sumas directas de los espacios de Hilbert (que no aparece en este último).
Puede haber algunas sutilezas que estoy ignorando, pero no entiendo cuáles son. $a$ y $a^\dagger$ son operadores lineales en el espacio de Fock lineal. Por lo tanto puedo agregarlos.
El espacio de Fock no es solo un espacio de Hilbert; es la suma directa infinita de diferentes espacios de Hilbert (ver todos mis comentarios y mi respuesta). La acción del $a, a^{\dagger}$ está singularmente definido en esos espacios de Hilbert solamente y necesita ser pegado de una manera adecuada para ser aplicado a toda la suma directa infinita (es decir, el espacio de Fock).

Meng Cheng · Answer 1

Diagonalizar el hamiltoniano significa que desea llevarlo a la forma $H=\omega b^\dagger b$ , y es bastante obvio que $b$ debe ser una combinación lineal de $a$ y $a^\dagger$ , y $b$ debería satisfacer la conmutación canónica de los operadores de aniquilación, a saber $[b,b^\dagger]=1, [b,b]=0$ .

Ahora escribamos $b=ua+va^\dagger$ (esto se llama la transformación de Bogoliubov, por cierto). La condición $[b,b^\dagger]=1$ lleva a $|u|^2-|v|^2=1$ . Expandámonos $b^\dagger b$ :

b^{†} b = | tu |^{2} a^{†} a + | v |^{2} a a^{†} + {tu}^{*} v a^{†} a^{†} + tu v^{*} a a .

$b^\dagger b= |u|^2 a^\dagger a+ |v|^2 a a^\dagger + u^*v a^\dagger a^\dagger + uv^* aa.$

Por lo tanto

ω (| tu |^{2} + | v |^{2}) = mi + Δ, ω {tu}^{*} v = \frac{1}{2} Δ .

$\omega(|u|^2+|v|^2)=E+\Delta, \omega u^*v = \frac{1}{2}\Delta.$

Juntos con $|u|^2-|v|^2=1$ , tenemos tres ecuaciones para tres variables ( $u, v, \omega$ ). De hecho, en este caso uno puede asumir con seguridad $u$ y $v$ ambos son reales. El resto es solo álgebra.

gentil · Answer 2

Diagonalizar un operador significa encontrar sus estados propios.

Sin pérdida de generalidad, su hamiltoniano se puede escribir como

H = C_{1} a^{†} a + C_{2} a^{†} a^{†} + C_{3} a a

$H = c_1 a^{\dagger}a + c_2 a^{\dagger}a^{\dagger} + c_3 a a$ con

a^{†}, a

$a^{\dagger},a$ siendo operadores del tipo

a^{†} : H_{n} \mapsto H_{n + 1}

$a^{\dagger}\colon \mathcal{H}_n\mapsto \mathcal{H}_{n+1}$ (y a la inversa para

a

$a$ ), dónde

H_{n}

$\mathcal{H}_n$ es el

n

$n$ -partícula del espacio de Hilbert que contribuye al espacio de Fock

F = \oplus_{n}^{\infty} H_{n}

$\mathcal{F}= \oplus^{\infty}_n\mathcal{H}_n$ .

Debe haber algunos errores en su ecuación si realmente quiere decir eso en un segundo procedimiento de cuantificación. En primer lugar, no hay general $a^{\dagger},a$ operador, más bien tienes uno para cada impulso $k$ , eso es $a^{\dagger}_k,a_k$ crear y destruir (entre comillas) partículas con impulso $k$ ; no hay $k$ en su hamiltoniano inicial, mientras que la forma general debe ser $\sum_k c_k\,a^{\dagger}_ka_k$ .

En segundo lugar: según si sus partículas son fermiones o bosones, los operadores correspondientes se comportan de manera diferente: por ejemplo $a^{\dagger}_ka^{\dagger}_k=0$ por fermiones.

Si el hamiltoniano actúa sobre un subespacio del espacio de Fock con un cierto número de partículas $\mathcal{H}_n$ , entonces los dos últimos términos de la ecuación llevarían la acción a $\mathcal{H}_{n\pm2}$ , por lo tanto el rhs vivirá en $\mathcal{H}_n +\mathcal{H}_{n+2} +\mathcal{H}_{n-2}$ , que realmente no tiene ningún sentido ya que no se da ninguna receta sobre cómo sumar elementos en diferentes espacios de Hilbert (las dos últimas piezas).

O asigna una prescripción precisa para lograr lo anterior, o debe haber errores en otra parte de la fórmula, como se señaló; intente dar más contexto para que uno pueda entender lo que quiere decir. Dicho esto, la literatura sugerida sobre cómo escribir cualquier hamiltoniano en segunda cuantización y encontrar las soluciones correspondientes es, por ejemplo:

Muchas gracias. Está mucho más claro ahora. Pero no hay error en mi hamiltoniano (excepto que la matriz que escribí no tiene sentido). No hay resumen, está sacado directamente de mi tarea.
Básicamente, mi hamiltoniano debe mantenerme en el mismo espacio de Fock y actuar en consecuencia. $H_n \rightarrow H_n$ . Lo que significa que mi hamiltoniano debe tener el mismo número de operadores de creación y aniquilación en cada coeficiente para actuar desde $H_n$ a $H_n$ ?
Sí exactamente. Además, (no estoy del todo seguro), por lo que recuerdo, hay un argumento general (ver Schwabl) que muestra que el hamiltoniano más general solo contiene productos de uno y dos operadores de creación/aniquilación.
En otro problema que haremos en clase en un futuro cercano, tengo algo como esto: i.imgur.com/U0EAgfO.png . ¿Es legítimo? ¿Está bien con nuestra definición? La sugerencia es resolverlo con la transformación de Bogolyubov. Sin embargo, es una suma infinita, así que no lo sé. Los únicos hamiltonianos que encontré que actúan en diferentes espacios de Fock son el que publiqué en mi primera publicación y el de la imagen.
No tiene mucho sentido para mí ya que uno tendría que sumar vectores en diferentes espacios de Hilbert, para ser honesto, a menos que se den algunas prescripciones particulares.
No hay recetas. Solo hay esta pista y el objetivo es encontrar estados propios. Bueno, le preguntaré a mi maestro entonces. Gracias por su tiempo, su publicación realmente me ayudó a entender esto mejor.
@GennaroTedesco ¿Alguna vez se encontró con la teoría BCS o la teoría Bogoliubov de las excitaciones de los condensados de Bose-Einstein? Exactamente tales términos $aa$ y $a^\dagger a^\dagger$ ¡ocurrir! Esto solo significa que los estados propios de energía no tienen números de partículas definidos. Sumar vectores con diferentes números de partículas no es ningún problema en el espacio de Fock (que es un espacio lineal).
Ver mis comentarios arriba. La transformación de Bogoliubov requiere la tensorización con los operadores de identidad apropiados para definirse correctamente, que no aparecen en la expresión anterior. Solo entonces se pueden definir sumas entre elementos en diferentes subespacios del espacio de Fock.
¿Qué tiene de difícil este hamiltoniano? solo considera $a, a^\dagger$ ser los operadores de escalera de los osciladores armónicos 1D. Está definido en todo el espacio de Fock, y eso está perfectamente bien.
¿Puede escribir la definición formal del operador? $a+a^{\dagger}$ (dominios, co-dominios y acciones)?
$(a + a^\dagger)\left|n\right> = a\left|n\right> + a^\dagger\left|n\right>$ . Dominio $H$ , codominio algún subespacio de $H$ . $a\left|0\right> = 0$ . No veo ningún problema. ( $H = \text{lin} \{ \left|0\right>, \left|1\right>, \ldots \}$ ). $a\left|n\right> = \left|n - 1 \right>$ para $n > 0$ , $a^\dagger\left|n \right> = \left|n + 1 \right>$ .
Los operadores se definen en el espacio de Hilbert. Hay un espacio de Fock bien definido, atravesado por $|n\rangle, n=0,1,\dots$ . $a$ y $a^\dagger$ ambos son operadores lineales en este espacio de Hilbert (por lo que asignan un estado en este espacio a otro estado). ¿Cuáles son sus acciones? Debes saber si has realizado algún curso de mecánica cuántica.
como sumas $a|n\rangle + a^{\dagger}|n\rangle$ , ya que el primero vive en $\mathcal{H}_{n-1}$ y este último en $\mathcal{H}_{n+1}$ ? Debería ver la inconsistencia en la notación si ha tomado algún curso de cálculo.
El espacio de Hilbert está atravesado por el número infinito de estados $|n\rangle$ . Todos están en el mismo espacio de Hilbert. ¿Qué le impide sumar dos estados en el mismo espacio de Hilbert? Parece que nunca has visto un espacio de Hilbert cuya dimensión sea mayor que $1$ , y los estados están etiquetados por algunos números cuánticos que se pueden cambiar aplicando operadores lineales?
Solo para darle algunas definiciones básicas subyacentes que parece pasar por alto: $a\colon\mathcal{H}_n\mapsto\mathcal{H}_{n-1}$ , mientras $a^{\dagger}\colon\mathcal{H}\mapsto\mathcal{H}_{n+1}$ , y el espacio de Fock es la suma directa infinita de todos esos diferentes espacios de Hilbert. Como ves, no están en el mismo espacio de Hilbert. El espacio de Fock no es el lapso lineal de esos, sino que es el lapso del producto tensorial, esa fue mi objeción. Si no ve tanta diferencia, me pregunto cómo maneja las teorías cuánticas de campos.
Si justifica correctamente el procedimiento (y esa fue mi pregunta inicial), entonces estoy totalmente de acuerdo con los resultados finales (que, por cierto, son correctos); pero si sumas las cosas sin ni siquiera ver dónde pueden estar los errores, bueno, eso muestra una comprensión muy extraña y deficiente de la teoría de los operadores.
¿Me preguntas cómo manejo las teorías cuánticas de campos? He aquí cómo: las teorías cuánticas de campos se ocupan de los sistemas de muchas partículas, y se permite que las partículas se creen y aniquilen. Por lo tanto, el espacio de Hilbert real está atravesado por la base del número de ocupación que especifica el número de ocupación en algunos estados de partículas individuales. Puede dividir este espacio de Hilbert de dimensión infinita en subespacios con diferentes números totales de ocupaciones, ese es su $\mathcal{H}_n$ . Entonces $a$ te lleva entre estos subespacios, que es un operador lineal en el espacio de Hilbert de dimensión infinita real.
Me temo que no soy yo el que carece de la comprensión completa de la teoría de los operadores.
No creo que tenga sentido continuar con esta discusión. La respuesta está ahí, el OP parece no tener problemas para entender $a$ y $a^\dagger$ (además, el problema probablemente se asignó en el contexto de operadores de escalera para osciladores armónicos). Ambos pensamos que no leemos los comentarios y nos confundimos sobre cosas básicas, eso está perfectamente bien. me detendré

mikael kuisma · Answer 3

¿Qué tal simplemente usar la representación Matrix?

https://en.wikipedia.org/wiki/Creation_and_annihilation_operators#Matrix_representation

Puedes tener cualquier número de bosones desde 0 hasta infinito. Esa será su base, y su función de onda se representa como un vector en el que el elemento 0 da amplitud de probabilidad de tener 0 cuantos, el elemento 1 da amplitud para 1 cuanto, 2 para 2 cuantos, etc. en el sistema.

Calcular con matrices es fácil:

N = 1000;
a = zeros(N);
for i=1:N-1
a(i,i+1) = sqrt(i);
end
H = 10*a*a' + 5 / 2 * (a*a+a'*a');
eig(N)

Disclaimer: he trabajado con fermiones casi siempre, salvo algún curso cuántico de hace 8 años.

Segunda cuantización y diagonalización hamiltoniana.

caims

caims

Meng Cheng

caims

gentil

Meng Cheng

Sebastián Riese

gentil

Sebastián Riese

gentil

Meng Cheng

Sebastián Riese

gentil

Sebastián Riese

gentil

Respuestas (3)

Meng Cheng

caims

gentil

caims

caims

gentil

caims

gentil

caims

Sebastián Riese

gentil

Meng Cheng

gentil

Sebastián Riese

Meng Cheng

gentil

Meng Cheng

gentil

gentil

Meng Cheng

gentil

Meng Cheng

Meng Cheng

mikael kuisma