Nunca he estado tan confundido (Aplicación de Cálculo Integral)

Question

Nunca he estado tan confundido (Aplicación de Cálculo Integral)

Abhishek A Udupa

Aquí hay un problema sobre la aplicación del cálculo integral para encontrar el trabajo realizado al mover una partícula. Pude 'alcanzar' la 'respuesta correcta'. Pero estoy totalmente confundido y completamente insatisfecho con la forma en que lo hice. Fue como si hubiera encontrado la manera de terminar en la respuesta dada y no al revés.

La pregunta :
una partícula de masa $m$ comienza desde el reposo en el tiempo $t=0$ y se mueve a lo largo de $x$ -eje con aceleración constante $a$ de $x=0$ a $x=h$ contra una fuerza variable de magnitud $F(t)=t^2$ . Encuentre el trabajo realizado.

La respuesta a esta pregunta se da como

\frac{4 h \sqrt{3 metro h}}{3}

$\frac{4h\sqrt{3mh}}{3}$

Mi trabajo :
La forma de llegar a la respuesta dada es simple. Dejar

\begin{aligned} F (t) & = t^{2} \\ = metro a \\ ⟹ a = \frac{t^{2}}{metro} \end{aligned}

$\begin{aligned} F(t)&=t^2 \\ &=ma \\ \implies a=\frac{t^2}{m} \end{aligned}$

Integrando esto de $0$ a $t$ , obtenemos la velocidad en función de $t$ y haciéndolo de nuevo, obtenemos el desplazamiento en función de t.

v (t) = \frac{t^{3}}{3 metro} X (t) = \frac{t^{4}}{12 metro}

$v(t)=\frac{t^3}{3m} \\ x(t)=\frac{t^4}{12m}$

Tiempo en el que la partícula está en $x=h$ sería

t_{h} = \sqrt[4]{12 metro h}

$t_h=\sqrt[4]{12mh}$ El trabajo realizado sobre la partícula es el cambio en su energía cinética entre

t = 0

$t=0$ y

t = t_{h}

$t=t_h$

\begin{aligned} W & = \frac{1}{2} metro [v (t_{h})]^{2} - \underset{= 0}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} metro [v (0)]^{2}}} \\ = \frac{1}{2} metro {\frac{t_{h}^{3}}{3 metro}}^{2} \\ = \frac{1}{2} metro {\frac{(\sqrt[4]{12 metro h})^{3}}{3 metro}}^{2} \\ = \frac{4 h \sqrt{3 metro h}}{3} \end{aligned}

$\begin{aligned} W &= \frac{1}{2}m\big[v(t_h)\big]^2-\underbrace{\frac{1}{2}m\big[v(0)\big]^2}_{=0} \\ &= \frac{1}{2}m \left\{\frac{t_h^3}{3m}\right\}^2 \\ &= \frac{1}{2}m \left\{\frac{(\sqrt[4]{12mh})^3}{3m}\right\}^2 \\ &= \frac{4h\sqrt{3mh}}{3} \end{aligned}$

Mis confusiones :
la primera ecuación que he usado:

a = \frac{t^{2}}{metro}

$a=\frac{t^2}{m}$ va en contra del enunciado del problema. en el problema,

a

$a$ es constante Pero aquí lo he tomado como una función del tiempo y, en consecuencia, variable (ya que la masa es constante).

Mi línea de pensamiento es así: si la partícula se mueve a una aceleración constante $a$ contra la fuerza $F(t)=t^2$ , entonces debe haber otra fuerza, digamos $F_1$ , que también debería ser variable con el tiempo, eso es abrumador $F(t)$ para hacer que la partícula se mueva con esa aceleración constante. ¿Bien?

metro a = F_{1} - F (t) = metro a_{1} - t^{2}

$ma=F_1-F(t)=ma_1-t^2$ dónde

a_{1}

$a_1$ debe ser variable con el tiempo.

Si continuamos con esto, entonces no terminaremos con la respuesta que se da. Estoy muy, muy confundido. ¿Alguien puede ayudar?

pierrecarre

Tenga en cuenta que no se le pide el trabajo realizado por ninguna de las dos fuerzas individuales. Uno está haciendo un trabajo positivo, el otro está haciendo un trabajo negativo, pero solo quieres el equilibrio, y este es el trabajo de la fuerza resultante (constante).

Abhishek A Udupa

@EricTowers Estoy empezando a creer que la declaración del problema es incorrecta:

a

$a$ no es constante...

5xum

@EricTowers Tienes razón.

Abhishek A Udupa

@PierreCarre Eso es lo que estoy diciendo también. En ese caso,

a \neq \frac{t^{2}}{m}

$a\neq\frac{t^2}{m}$ pero

a = a_{1} - \frac{t^{2}}{m}

$a=a_1-\frac{t^2}{m}$ . Lee mi penúltimo párrafo.

Abhishek A Udupa

@mkcpz ¿Cómo podría

a

$a$ ser variable respecto al tiempo y terminar siendo constante respecto al desplazamiento?

Laxmi Narayan Bhandari

Es fácil ver que el enunciado del problema es incorrecto.

m

$m$ es constante,

a

$a$ es constante, entonces

F = m a

$F=ma$ debe ser constante. Pero como

F

$F$ es variable y la masa de la partícula permanecerá constante,

a

$a$ variará.

Laxmi Narayan Bhandari

Compruebe si la masa varía, la expresión del trabajo cambia o no.

Respuestas (1)

Nunca he estado tan confundido (Aplicación de Cálculo Integral)

Tenga en cuenta que no se le pide el trabajo realizado por ninguna de las dos fuerzas individuales. Uno está haciendo un trabajo positivo, el otro está haciendo un trabajo negativo, pero solo quieres el equilibrio, y este es el trabajo de la fuerza resultante (constante).
@EricTowers Estoy empezando a creer que la declaración del problema es incorrecta: $a$ no es constante...
@PierreCarre Eso es lo que estoy diciendo también. En ese caso, $a\neq\frac{t^2}{m}$ pero $a=a_1-\frac{t^2}{m}$ . Lee mi penúltimo párrafo.
@mkcpz ¿Cómo podría $a$ ser variable respecto al tiempo y terminar siendo constante respecto al desplazamiento?
Es fácil ver que el enunciado del problema es incorrecto. $m$ es constante, $a$ es constante, entonces $F=ma$ debe ser constante. Pero como $F$ es variable y la masa de la partícula permanecerá constante, $a$ variará.
Compruebe si la masa varía, la expresión del trabajo cambia o no.

cucú · Answer 1

Tienes razón en sospechar; la pregunta es todo tipo de mal. la pregunta dice

Una partícula de masa $m$ comienza desde el reposo en el tiempo $t=0$ y se mueve a lo largo de $x$ -eje con aceleración constante $a$ de $x=0$ ... blablablablablablabla

Una vez que leo esta primera parte de la oración, sin siquiera pensarlo, inmediatamente la traduzco en un problema de valor inicial para una EDO de segundo orden:

\begin{aligned} {\begin{cases} X^{″} (\cdot) & = a \\ X^{'} (0) & = 0 \\ X (0) & = 0 \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} \begin{cases} x''(\cdot)&=a\\ x'(0)&=0\\ x(0)&=0 \end{cases} \end{align}$ La solución se da inmediatamente como

x (t) = \frac{1}{2} a t^{2}

$x(t)=\frac{1}{2}at^2$ , por lo que se necesita un total de

t_{h} = \sqrt{\frac{2 h}{a}}

$t_h=\sqrt{\frac{2h}{a}}$ unidades de tiempo para recorrer un desplazamiento de

h

$h$ . No importa cuántas fuerzas o qué tipo de fuerzas actúen sobre la partícula. Si la partícula tiene una aceleración constante de

a

$a$ , entonces esta es la trayectoria de la partícula. Eso es todo.

A continuación, el trabajo neto realizado a lo largo del camino desde $x=0$ a $x=h$ es simplemente el cambio en la energía cinética (como has identificado correctamente), y en este caso, es

\begin{aligned} \frac{metro}{2} [X^{'} (t_{h})]^{2} - \frac{metro}{2} [X^{'} (0)]^{2} = \frac{metro}{2} [a t_{h}]^{2} - \frac{metro}{2} (0)^{2} = metro a h . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{m}{2}[x'(t_h)]^2-\frac{m}{2}[x'(0)]^2=\frac{m}{2}[at_h]^2-\frac{m}{2}(0)^2=mah. \end{align}$ Si desea calcular sólo el trabajo realizado por la fuerza

F

$F$ , entonces es

\begin{aligned} trabajo realizado por F sobre la partícula & = \int_{0}^{t_{h}} F (t) \cdot X^{'} (t) d t = \int_{0}^{t_{h}} t^{2} \cdot a t d t = \frac{a t_{h}^{4}}{4}, \end{aligned}

$\begin{align} \text{work done by $F$ on the particle}&=\int_0^{t_h}F(t)\cdot x'(t)\,dt=\int_0^{t_h}t^2\cdot at\,dt=\frac{at_h^4}{4}, \end{align}$ que de nuevo no es la respuesta "pretendida". En la forma actual de cómo se formula la pregunta, tiene razón al introducir una nueva fuerza

F_{1}

$F_1$ , pero incluso el trabajo realizado por

F_{1}

$F_1$ no es igual a la respuesta "pretendida". es decir, ninguna de las fuerzas

F, F_{1}, F_{1} - F

$F, F_1, F_1-F$ tener un trabajo igual a la respuesta "prevista". Esto solo demuestra lo mal que está redactada la pregunta.

Si uno quiere obtener la respuesta "pretendida", así es como debería haberse formulado la pregunta:

Considere una partícula de masa $m$ que experimenta un movimiento a lo largo de la $x$ -eje; dejar $x(t)$ denote la posición de la partícula en el tiempo $t$ . Suponga que la partícula está bajo la influencia de una fuerza $F$ , tal que $F(x(t))=kt^2$ por alguna constante $k>0$ (para asegurar eso $F$ tiene las unidades correctas) y que la partícula parte del reposo en el origen. Encuentre el trabajo realizado por la fuerza $F$ sobre la partícula a medida que se desplaza de $0$ a algún desplazamiento final $h$ .

Estoy bastante seguro de que aquí la respuesta resulta ser $\frac{4}{\sqrt{3}}\sqrt{mh^3k}$ (lo mismo que tienes, hasta el factor de $k$ ).

Creo que el método que se muestra en la pregunta es correcto para la forma en que la pregunta "debería haberse formulado".
@DavidK sí, estoy de acuerdo, y eso es lo que dice mi última oración
Estaba pensando en el método más que en el resultado, pero supongo que tú también lo estabas.

Nunca he estado tan confundido (Aplicación de Cálculo Integral)

Abhishek A Udupa

pierrecarre

Abhishek A Udupa

5xum

Abhishek A Udupa

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Laxmi Narayan Bhandari

Laxmi Narayan Bhandari

Respuestas (1)

cucú

david k

cucú

david k

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