¿Cómo resolver esta integral por partes?

Un enfoque estadístico. usted está tratando de encontrar$\mathbb{E}(X^2)$dónde$X$es una variable aleatoria normal con media$\mathbb{E}(X)=\beta$y varianza$\mathbb{V}(X)={1\over 4\alpha}.$Por lo tanto

$$\mathbb{E}(X^2)=\mathbb{V}(X)+\mathbb{E}(X)^2={1\over 4\alpha}+\beta^2.$$

Sugerencia: ampliar$x^2$a lo largo de los poderes de$x-\beta$primero:

$$x^2=(x-\beta)^2+2\beta(x-\beta)+\beta^2$$ y se divide en tres integrales. Utilice piezas de integración para $$\int_{-\infty}^{\infty}(x-\beta)^2 \mathrm e^{-2\alpha(x-\beta)^2}\mathrm d\mkern1mu x.$$

$$\langle x^2\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{2\alpha}{\pi}\right)^{1/2}x^2 e^{-2\alpha(x-\beta)^2} dx$$ $$\langle x^2\rangle=\left(\frac{2\alpha}{\pi}\right)^{1/2}\int_{-\infty}^{\infty}(y+\beta)^2 e^{-2\alpha y^2} dy$$ $$\langle x^2\rangle=2\left(\frac{2\alpha}{\pi}\right)^{1/2}\left(\int_{0}^{\infty}y^2 e^{-2\alpha y^2} dy + \beta^2\int_{0}^{\infty}e^{-2\alpha y^2} dy\right)$$ $$\langle x^2\rangle=2\left(\frac{2\alpha}{\pi}\right)^{1/2}\left(-\dfrac12I'(\alpha) + \beta^2I(\alpha)\right),$$ dónde $$I(\alpha) = \int_{0}^{\infty}e^{-2\alpha y^2} dy.$$ $$I^2(\alpha) = \int_{0}^{\infty}e^{-2\alpha x^2} dx\cdot \int_{0}^{\infty}e^{-2\alpha y^2} dy = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty}e^{-2\alpha (x^2 + y^2)} dxdy$$ Pasando a coordenadas polares: $$I^2(\alpha) = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2\pi}e^{-2\alpha r^2}r\,d\phi\, dr$$ $$I^2(\alpha) = -\dfrac{2\pi}{4\alpha}e^{-2\alpha r^2}\biggr|_0^{\infty} = \dfrac{\pi}{2\alpha}.$$ $$I(\alpha) = \left(\dfrac{\pi}{2\alpha}\right)^\frac12$$ $$I'(\alpha) = \left(\dfrac{\pi}{2\alpha}\right)^{\frac12}\left(-\dfrac1{2\alpha}\right)$$ $$\langle x^2\rangle = 2\left(-\dfrac1{2\alpha}+\beta^2\right)$$ $$\boxed{\langle x^2\rangle = 2\beta^2-\dfrac1\alpha}$$

Pista:

la integral

$$\int x^2e^{-2\alpha(x-\beta)^2}dx$$ con la sustitución $$\sqrt{2\alpha}(x-\beta)=t \quad \Rightarrow \quad dx=\frac{dt}{\sqrt{2\alpha}}$$ $$x^2=\frac{t^2}{2\alpha}+\frac{2\beta t}{\sqrt{2\alpha}}+\beta^2$$ se convierte en: $$\frac{1}{\sqrt{(2\alpha)^3}}\int t^2e^{-t^2}dt+\frac{\beta}{\alpha}\int t e^{-t^2}dt+\frac{\beta^2}{\sqrt{2\alpha}} \int e^{-t^2}dt$$

La segunda integral se puede resolver fácilmente por sustitución:

$$\int t e^{-t^2}dt=-\frac{e^{-t^2}}{2}$$ y de esto, integrando por partes la primera integral tenemos: $$\int t^2e^{-t^2}dt=\int t d\left(-e^{-t^2}\right)=\frac{-te^{-t^2}}{2}+\frac{1}{2} \int e^{-t^2}dt$$

Ahora tenemos que encontrar la integral.$\int e^{-t^2}dt$que no se puede hacer con funciones elementales. Usamos la función de error , definida como:

$$\frac{d}{dx} \mbox{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}$$ entonces: $$\int e^{-t^2} dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\mbox{erf}(t)$$ y $$\int t^2e^{-t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{4}\mbox{erf}(t) -\frac{te^{-t^2}}{2}$$ Ahora puede volver a sustituir y encontrar la primitiva de su función.

Para los límites de la integral dada puedes usar:

$$\lim_{x\to \infty}\mbox{erf}(x)=1 \qquad \lim_{x\to -\infty}\mbox{erf}(x)=-1$$ eso es una consecuencia de la integral de Gauss .