¿Cuál es el valor de la siguiente integral definida?

Question

¿Cuál es el valor de la siguiente integral definida?

cálculo
integración
Matemáticas
integrales definidas
integrales impropias

Anish Koulgi

$I=\displaystyle\int\limits_0^\infty \dfrac{1}{(1+x^2)\displaystyle\sqrt{\log(1+x)}}dx$

Mi intento:

Sustituyendo $x=\tan{\theta}$

$I=\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{\displaystyle\sqrt{\log(1+\tan\theta)}}d\theta$

Al aplicar $\,\,\int\limits_a^b f(x)dx=\int\limits_a^b f(a+b-x)dx$

$I=\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{\displaystyle\sqrt{\log(1+\cot\theta)}}d\theta$

Sumando ambos y simplificando,

$2I=\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\displaystyle\sqrt{\log(1+\cot\theta)}+\displaystyle\sqrt{\log(1+\tan\theta)}}{\displaystyle\sqrt{\log(1+\cot\theta)\log(1+\tan\theta)}}d\theta$

Racionalizando el numerador,

$2I=\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\log(1+\cot\theta)-\log(1+\tan\theta)}{\displaystyle\sqrt{\log(1+\cot\theta)\log(1+\tan\theta)}\displaystyle\left(\sqrt{\log(1+\cot\theta)}-\displaystyle\sqrt{\log(1+\tan\theta)}\right)}d\theta$

$\therefore\, 2I=\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\log(1+\tan\theta)-\log(1+\tan\theta)-\log\tan\theta}{\displaystyle\sqrt{\log(1+\cot\theta)\log(1+\tan\theta)}\displaystyle\left(\sqrt{\log(1+\cot\theta)}-\displaystyle\sqrt{\log(1+\tan\theta)}\right)}d\theta$

$\therefore\, 2I=\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{-\log\tan\theta}{\displaystyle\sqrt{\log(1+\cot\theta)\log(1+\tan\theta)}\displaystyle\left(\sqrt{\log(1+\cot\theta)}-\displaystyle\sqrt{\log(1+\tan\theta)}\right)}d\theta$

Nuevamente aplicando la propiedad $\,\,\int\limits_a^b f(x)dx=\int\limits_a^b f(a+b-x)dx$

$\therefore\, 2I=\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{-\log\cot\theta}{\displaystyle\sqrt{\log(1+\tan\theta)\log(1+\cot\theta)}\displaystyle\left(\sqrt{\log(1+\tan\theta)}-\displaystyle\sqrt{\log(1+\cot\theta)}\right)}d\theta$

Sumando ambas ecuaciones,

$2I=\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{-\log\tan\theta+\log\tan\theta}{\displaystyle\sqrt{\log(1+\tan\theta)\log(1+\cot\theta)}\displaystyle\left(\sqrt{\log(1+\tan\theta)}-\displaystyle\sqrt{\log(1+\cot\theta)}\right)}d\theta$

$\therefore \, 4I=0$

$\therefore \, I=0$

Pero DESMOS me da la respuesta acercándose $2.53824756838$

¿Qué tiene de malo mi enfoque?

N74

el signo de

\log \tan

$\log \tan$ en el numerador parece mal después de la última adición (no sé si todo estaba bien antes).

Lee David Chung Lin

Todo lo demás como dado, el numerador después de la última adición (que por cierto ya está

4 I

$4I$ no

2 I

$2I$ ) debiera ser

- \log \cot θ + \log \tan θ

$-\log \cot\theta + \log\tan\theta$

yuriy s

Un valor más preciso (según Mathematica) sería

2.538250393139 \dots

$2.538250393139 \ldots$

Respuestas (1)

¿Cuál es el valor de la siguiente integral definida?

el signo de $\log \tan$ en el numerador parece mal después de la última adición (no sé si todo estaba bien antes).
Todo lo demás como dado, el numerador después de la última adición (que por cierto ya está $4I$ no $2I$ ) debiera ser $-\log \cot\theta + \log\tan\theta$
Un valor más preciso (según Mathematica) sería $2.538250393139 \ldots$

yuriy s · Answer 1

Duda que esta integral tenga una forma elemental, sin embargo se puede expresar como una serie:

\int_{0}^{\infty} \frac{d X}{(1 + X^{2}) \sqrt{en (1 + X)}} = \int_{0}^{\infty} \frac{{mi}^{tu} d tu}{(1 + ({mi}^{tu} - 1)^{2}) \sqrt{tu}} = 2 \int_{0}^{\infty} \frac{{mi}^{v^{2}} d v}{2 {mi}^{- v^{2}} - 2 + {mi}^{v^{2}}}

$\int_0^\infty \frac{dx}{(1+x^2) \sqrt{\ln(1+x)}}=\int_0^\infty \frac{e^u du}{(1+(e^u-1)^2) \sqrt{u}}=2\int_0^\infty \frac{e^{v^2} dv}{2e^{-v^2}-2+e^{v^2}}$

Trabajamos con la última integral:

2 \int_{0}^{\infty} \frac{{mi}^{v^{2}} d v}{2 {mi}^{- v^{2}} - 2 + {mi}^{v^{2}}} = 2 \int_{0}^{\infty} \frac{{mi}^{- v^{2}} d v}{1 - 2 {mi}^{- v^{2}} (1 - {mi}^{- v^{2}})}

$2\int_0^\infty \frac{e^{v^2} dv}{2e^{-v^2}-2+e^{v^2}}=2\int_0^\infty \frac{e^{-v^2}dv}{1-2e^{-v^2}(1-e^{-v^2})}$

Es fácil comprobar que $|2e^{-v^2}(1-e^{-v^2})|<1$ , entonces podemos usar la fórmula de la serie geométrica:

2 \int_{0}^{\infty} \frac{{mi}^{- v^{2}} d v}{1 - 2 {mi}^{- v^{2}} (1 - {mi}^{- v^{2}})} = 2 \sum_{norte = 0}^{\infty} 2^{norte} \int_{0}^{\infty} {mi}^{- (norte + 1) v^{2}} (1 - {mi}^{- v^{2}})^{norte} d v =

$2\int_0^\infty \frac{e^{-v^2}dv}{1-2e^{-v^2}(1-e^{-v^2})}=2\sum_{n=0}^\infty 2^n \int_0^\infty e^{-(n+1)v^2}(1-e^{-v^2})^n dv=$

Ahora usamos la fórmula de la suma binomial:

= 2 \sum_{norte = 0}^{\infty} 2^{norte} \sum_{k = 0}^{norte} (- 1)^{k} (\binom{norte}{k}) \int_{0}^{\infty} {mi}^{- (norte + k + 1) v^{2}} d v = \sqrt{π} \sum_{norte = 0}^{\infty} 2^{norte} \sum_{k = 0}^{norte} (- 1)^{k} (\binom{norte}{k}) \frac{1}{\sqrt{norte + k + 1}}

$=2\sum_{n=0}^\infty 2^n \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \int_0^\infty e^{-(n+k+1)v^2}dv=\sqrt{\pi} \sum_{n=0}^\infty 2^n \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \frac{1}{\sqrt{n+k+1}}$

Para la última parte usamos la conocida fórmula integral de Poisson. Finalmente:

$\int_{0}^{\infty} \frac{d X}{(1 + X^{2}) \sqrt{en (1 + X)}} = \sqrt{π} \sum_{norte = 0}^{\infty} 2^{norte} \sum_{k = 0}^{norte} (- 1)^{k} (\binom{norte}{k}) \frac{1}{\sqrt{norte + k + 1}}$ $\int_0^\infty \frac{dx}{(1+x^2) \sqrt{\ln(1+x)}}=\sqrt{\pi} \sum_{n=0}^\infty 2^n \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \frac{1}{\sqrt{n+k+1}}$

Es fácil comprobar numéricamente con Mathematica que la serie da el mismo valor que la integral.

A primera vista, la convergencia de esta serie es dudosa. No lo probaré aquí, pero numéricamente con Mathematica está claro que la serie converge y rápido (aquí está la suma graficada frente al número de términos):

¿Cuál es el valor de la siguiente integral definida?

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yuriy s

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yuriy s

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