Sobre el teorema fundamental del Cálculo

Me he encontrado con la siguiente ecuación en alguna prueba:

y ( t ) = ∫ − π t ( t − s ) y ( s ) d s + ∫ t π ( s − t ) y ( s ) d s , dónde s , t ∈ [ − π , π ] y y es integrable en [ − π , π ] .

Luego, quieren tomar la derivada de la ecuación anterior y simplemente dicen que el resultado es:

y ′ ( t ) = ∫ − π t y ( s ) d s − ∫ t π y ( s ) d s

No puedo entender, ¿por qué es este el resultado? Sé que aquí se usó el teorema fundamental del Cálculo (que establece que si F ( X ) = ∫ a X F ( X ) d X entonces F ′ ( X 0 ) = F ( X 0 ) ∀ X 0 ), y no estoy seguro de cómo se usa en este caso, donde t es el valor más bajo en algunas de las integrales?

EDITAR siguiendo los comentarios, traté de calcularlo, sabiendo que ∫ a b = − ∫ b a :

∫ − π t ( t − s ) y ( s ) d s + ∫ t π ( s − t ) y ( s ) d s = t ∫ − π t y ( s ) d s − ∫ − π t s y ( s ) d s − t ∫ π t y ( s ) d s + ∫ π t s y ( s ) d s .

Entonces, si quiero tomar la derivada de esta ecuación, usando el teorema fundamental (para general t ), Lo tendré : t y ( t ) − t y ( t ) − t y ( t ) + t y ( t ) = 0 . ¿Dónde está mi error? ¿Qué me perdí?

Si te queda más claro, recuerda que ∫ a b F ( X ) d X = − ∫ b a F ( X ) d X
@lulu Pero solo cambiaría ∫ t π a ∫ pag i t , ¿no? (Y cuál es el significado de ello, sabiendo que − π ≤ t ≤ π ?)
Esto puede verse como un caso especial de la regla integral de Leibniz (que es una ligera generalización de FTC): en.wikipedia.org/wiki/…
Sí, cambiaría a − ∫ π t , y eso explica lo negativo al diferenciar. (También puedes pensarlo geométricamente: Si F > 0 , por ejemplo, la función ∫ t b F ( tu ) d tu disminuye a medida que t aumenta.)
@TedShifrin Lo probé y, sin embargo, no pude obtener el resultado correcto

Respuestas (1)

Porque también hay una función de t dentro de la integral, tienes dos piezas para la diferenciación. Como comentó @peek-a-boo, el resultado se sigue de la regla de Leibniz, pero podemos hacerlo directamente con la regla del producto aquí.

Si F ( t ) = ∫ a t ( t − s ) y ( s ) d s , entonces tenga en cuenta que

F ( t ) = t ∫ a t y ( s ) d s − ∫ a t s y ( s ) d s .
Usando el teorema fundamental del cálculo dos veces y la regla del producto en el primer término, obtenemos
F ′ ( t ) = ∫ a t y ( s ) d s + t y ( t ) − t y ( t ) = ∫ a t y ( s ) d s .
El otro término es similar, invirtiendo los límites de la integral definida como ya señalé.

Sobre el teorema fundamental del Cálculo
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v