¿Es legítima esta evaluación integral?

Me gustaría evaluar la siguiente integral:

$$\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\cos (2\arccos (x))\cos (3\arccos (x)){\mathrm{d} x}$$ Un poco de experiencia de tomar un curso de métodos numéricos me da la idea de que el integrando se puede considerar como una función de peso$w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$multiplicado por algunos términos trigonométricos que parecen ser polinomios de Chebyshev del primer tipo. Debido a la ortogonalidad de los polinomios de Chebyshev con respecto a la función de peso, puedo concluir que la integral se evalúa como$0$porque los polinomios de Chebyshev tienen diferentes índices.

Sin embargo, me gustaría calcular esta integral con métodos elementales para estar seguro.

Con alguna manipulación de los términos trigonométricos encuentro que:

$$\cos (2\arccos (x)) = -\cos(2\arcsin(x))$$ $$\cos (3\arccos (x))= -\sin(3\arcsin(x))$$

Hago la sustitución:

$$u = \arcsin(x)$$ $${\mathrm{d} u} = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}{\mathrm{d} x}$$

Entonces la integral original se transforma en:

$$\int_{\infty}^{\infty}\cos (2u)\sin (3u){\mathrm{d} u}$$

De lo que concluyo igual$0$porque:

$$\int_{a}^{a}f(x){\mathrm{d} x} = 0$$

Siento que he hecho algo desacertado porque el seno y el coseno no convergen en un límite en el infinito. Esto me recuerda el valor principal de Cauchy. ¿Son legítimas mis manipulaciones?