Número racional que se aproxima a 3–√3\sqrt{3}

Seguro que es una exageración, pero dado que la fracción continua de$\sqrt{3}$es dado por:

$$\sqrt{3}=[1;\overline{1,2}],\tag{1}$$ tenemos eso: $$[1,1,2,1,2,1,2] = \frac{71}{41} \tag{2}$$ es una aproximación exacta, y: $$\left|\sqrt{3}-\frac{71}{41}\right|\leq\frac{1}{41^2}<\frac{1}{1000}.\tag{3}$$

Una forma es: use la búsqueda decimal para encontrar los primeros 2 lugares decimales, luego multiplique por 100, trunque a un número entero y use este valor sobre 100.

La búsqueda decimal es: Encuentra cada dígito viendo si un determinado valor es demasiado alto o demasiado bajo. Ej: calcular$1.5^2$. Si esto es < 3, intente$1.6^2$,$1.7^2$hasta que encontremos un valor que eleve al cuadrado a más de 3. Luego haga lo mismo con el siguiente dígito: intente con 1.75 y vea si sube o baja. Esta técnica se puede usar para encontrar cualquier raíz cuadrada con un número arbitrario de lugares decimales.

Puede ser, podríamos considerar resolver para$x$

$$f(x)=x^2-3=0$$ y use el método de Newton que dará $$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=\frac{x_n^2+3}{2 x_n}$$ Empezando con $x_0=1$, deberíamos obtener como iteraciones $2$, $\frac{7}{4}$, $\frac{97}{56}$, $\frac{18817}{10864}$, $\frac{708158977}{408855776}$.

Usando el método Halley en su lugar, lo que dará

$$x_{n+1}=\frac{3 \left(x_n^4+6 x_n^2-3\right)}{8 x_n^3}$$ las iteraciones serían $\frac{3}{2}$, $\frac{83}{48}$, $\frac{126766609}{73188736}$.

En otras palabras, a partir de un valor racional de$x_0$generará un número infinito de iteraciones que también serán racionales, más y más cerca de$\sqrt 3$.

Hay$100$números racionales distintos entre$1$y$2$de la forma$1.XY5$. Cuadrarlos y encontrar dónde cambia el cuadrado desde abajo$3$por arriba$3$.

Saque el promedio del número más grande cuyo cuadrado está debajo$3$y el número más pequeño cuyo cuadrado está arriba$3$.

para probar si$x>\sqrt3$, basta con comprobar si$x^2>3$, ya que estos son equivalentes cuando$x$es positivo.

Con eso en mente, luego veo si$1.00>\sqrt3$, si$1.01>\sqrt3$, si$1.02>\sqrt3$, si$1.03>\sqrt3$, en orden, hasta que encuentre el más pequeño que es más grande que$\sqrt3$. Luego tomo el inmediatamente anterior a ese.

Oye, nadie dijo nada sobre la eficiencia.

La ecuación de Brahmagupta da tales aproximaciones. Una solución entera para$X^2-dY^2=1$conduce al número racional$X/Y$una aproximación para$\surd d$.

$$49-3\times16=1$$ $$7^2-(4\surd3 )^2=1$$ $$(7-4\surd3)(7+4\surd3)=1$$ Ahora elevando a una potencia arbitraria $$(7-4\surd3)^n(7+4\surd3)^n=1$$ expresando $(7+4\surd3)^n$en la forma $a_n+b_n\surd3$puedes ver eso $a_n/b_n$es una secuencia de mejora de aproximaciones para $\surd3$.

Describí un método realmente fácil de usar creado originalmente por los babilonios para aproximar la raíz cuadrada de un número$N$en esta respuesta . Aquí está la idea: haga una suposición inicial en cuanto a la raíz cuadrada, y deje que esta suposición inicial esté dada por$r_1$. Ahora, continúa mejorando tus conjeturas usando

$$r_{n+1}=\frac{1}{2}\left(r_n+\frac{N}{r_n}\right),\tag{1}$$ dónde $N$es el número del que intentas encontrar la raíz cuadrada. Este método funciona sorprendentemente bien.

Para su problema específicamente, sabemos$2$está algo cerca de la raíz cuadrada de$3$. Por lo tanto, deja$r_1=2$. Usando$(1)$solo una vez nos dice que$r_2=7/4=1.75$, mientras que la raíz cuadrada real de$3$es$\sqrt{3}=1.73\ldots$; por lo tanto, utiliza$(1)$solo una vez más para obtener

$$r_3=97/56\approx \color{red}{1.732}\color{blue}{14285714},$$ mientras $$\sqrt{3}\approx \color{red}{1.73205080757},$$ y, solo haciendo una última suposición (aunque se podrían hacer varias más para mejorar aún más la precisión): $$r_4=18817/10864\approx \color{red}{1.7320508}\color{purple}{1001}.$$ Sé que esto no responde exactamente a su pregunta: su búsqueda suena más orientada teóricamente, pero esto es algo práctico que tal vez podría serle útil.

la siguiente serie se utiliza para$\sqrt{3}$

$$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(2n-1)!!}{n!3^n}=1+1/3+1/6+5/54+35/684+..$$