Aproximación racional de múltiples irracionales

Fondo

Las mejores aproximaciones racionales $p/q$a un irracional$\alpha$se definen por la propiedad

$$\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \left|\alpha - \frac{p'}{q'}\right|$$ para todos$q' \leq q$. los aproximantes$p/q$se encuentran simplemente truncando la expansión de la fracción continua.

El número irracional "más" es la proporción áurea$\phi$, que se define por la propiedad de que para cualquier$N$, tiene las aproximaciones más buenas que satisfacen$q < N$.

Además, para (i) algebraicos y (ii) casi todos los números irracionales, satisfacen el límite

$$\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| > \frac{1}{q^{2+\epsilon}}$$ para cualquier$\epsilon > 0$y$q$suficientemente largo.

Contexto

Estoy interesado en generalizaciones conocidas de estos resultados a la aproximación de múltiples irracionales.

He encontrado una generalización de parte del resultado final, que es proporcionado por el teorema del Subespacio. El teorema del subespacio tiene el siguiente corolario: para$D$números algebraicos racionalmente independientes$(\alpha_1, \alpha_2, \ldots \alpha_D)$,

$$\left|\alpha_d - \frac{p_d}{q}\right| > \frac{1}{q^{1+1/D+\epsilon}}$$ para cualquier$\epsilon > 0$, y$q$suficientemente largo.

Preguntas

Mis preguntas son:

• ¿Existe una definición correspondiente de uso común de las mejores aproximaciones racionales?$(p_1/q,p_2/q \ldots p_D/q)$a la tupla irracional$(\alpha_1, \alpha_2, \ldots \alpha_D)$? (generalizando la primera ecuación anterior)
• Si hay una buena definición, ¿hay un método mejor que la búsqueda exhaustiva para encontrar las aproximaciones racionales?$p_d/q$a la tupla irracional$\alpha_d$? (generalizando la expansión de fracción continua truncada)
• Para una dada$D$¿Hay una tupla "más irracional" conocida?$(\alpha_1, \alpha_2, \ldots \alpha_D)$en el sentido de que existe el número máximo de buenas aproximaciones que satisfacen$q<N$para cualquier$N$? (generalizando la proporción áurea)