¿Existe un número tal que la secuencia de sus mejores aproximaciones racionales sea estrictamente creciente?

Question

¿Existe un número tal que la secuencia de sus mejores aproximaciones racionales sea estrictamente creciente?

Matemáticas
aproximación diofántica

usuario1001232

Las aproximaciones racionales de $\sqrt 2$ dadas por su fracción continua son: 1.5, 1.333, 1.4, 1.417, 1.412, etc. que no es estrictamente creciente. De manera similar, esta secuencia para $\phi=(1+\sqrt5)\big/2$ es 2.0, 1.5, 1.667, 1.6, 1.625, etc.

¿Existe un número real tal que la secuencia de las mejores aproximaciones racionales (en el sentido de fracciones continuas) sea estrictamente creciente?

tonyk

La representación de fracción continua de

\sqrt{2}

$\sqrt 2$ es

[1; 2, 2, 2, \dots]

$[1;2,2,2,\ldots]$ . Los primeros términos son

\frac{3}{2} = 1.5, \frac{7}{5} = 1.4, \frac{17}{12} \approx 1.41667, \frac{41}{29} \approx 1.41379, \frac{99}{70} \approx 1.41429, \frac{239}{169} \approx 1.414201

$\frac32=1.5,\frac75=1.4,\frac{17}{12}\approx 1.41667,\frac{41}{29}\approx 1.41379,\frac{99}{70}\approx 1.41429,\frac{239}{169}\approx 1.414201$ . Tenga en cuenta que estos valores alternativamente sobreestiman y subestiman

\sqrt{2}

$\sqrt 2$ , como se esperaba (a diferencia de la secuencia que das).

David

Por cierto, se llaman fracciones continuas , no fracciones "continuas".

usuario1001232

@David lo siento, hay una sola palabra para eso en mi idioma nativo

David

@laravel eso es interesante, ¿qué idioma y cuál es la palabra?

Respuestas (2)

¿Existe un número tal que la secuencia de sus mejores aproximaciones racionales sea estrictamente creciente?

La representación de fracción continua de $\sqrt 2$ es $[1;2,2,2,\ldots]$ . Los primeros términos son $\frac32=1.5,\frac75=1.4,\frac{17}{12}\approx 1.41667,\frac{41}{29}\approx 1.41379,\frac{99}{70}\approx 1.41429,\frac{239}{169}\approx 1.414201$ . Tenga en cuenta que estos valores alternativamente sobreestiman y subestiman $\sqrt 2$ , como se esperaba (a diferencia de la secuencia que das).
Por cierto, se llaman fracciones continuas , no fracciones "continuas".
@David lo siento, hay una sola palabra para eso en mi idioma nativo
@laravel eso es interesante, ¿qué idioma y cuál es la palabra?

tonyk · Answer 1

Mire el párrafo Algunos teoremas útiles en el artículo de Wikipedia sobre fracciones continuas . Allí encontrará, por ejemplo, la declaración

\frac{h_{norte}}{k_{norte}} - \frac{h_{norte - 1}}{k_{norte - 1}} = (- 1)^{norte + 1} k_{norte} k_{norte - 1}

$\frac{h_n}{k_n}-\frac{h_{n-1}}{k_{n-1}}={(-1)^{n+1}}{k_nk_{n-1}}$ dónde

\frac{h_{n}}{k_{n}}

$\frac{h_n}{k_n}$ es el

n

$n$ th convergente de la fracción continua.

Lo que esto significa es que las sucesivas aproximaciones de fracciones continuas a un número irracional positivo sobreestimarán y subestimarán sucesivamente el límite. Así que ni siquiera tres términos sucesivos pueden ser crecientes.

Hagen von Eitzen · Answer 2

Recuerda que el $n$ la aproximación para $\alpha$ es $\lfloor \alpha\rfloor$ más el $(n-1)$ primera aproximación para $\frac1{\alpha-\lfloor \alpha\rfloor}$ . Puedes demostrar por inducción que no depende del irracional $\alpha$ , pero sólo en la paridad de $n$ si el $n$ La aproximación es dos pequeña o demasiado grande.

Entonces, si lo entiendo correctamente, ¿cualquier otra aproximación está subestimando lo real?

¿Existe un número tal que la secuencia de sus mejores aproximaciones racionales sea estrictamente creciente?

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tonyk

David

usuario1001232

David

Respuestas (2)

tonyk

Hagen von Eitzen

usuario1001232

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