Forma cerrada para encontrar el número de rutas en un tablero nxm

Deja una tabla$B$ser de tamaño$n \times m$cuadrados donde$n, m \in \mathbb{Z}$y$n, m \ge 1$. Comenzando desde el cuadrado superior izquierdo,$B_{1,1}$, encuentre el número de caminos al cuadrado inferior derecho,$B_{n,m}$, yendo hacia la derecha o hacia abajo en cualquier casilla dada.

Por ejemplo, deja$B$ser$2\times 2$, entonces el número total de caminos es dos:$(B_{1,1}, B_{1,2}, B_{2,2}), (B_{1,1},B_{2,1},B_{2,2})$.

Se puede calcular el número total de caminos para un$n\times m$tablero representando el tablero como una matriz donde la fila superior son 1 y la columna más a la izquierda son 1, luego el número de caminos para llegar a$B_{n,m} = B_{n-1,m} + B_{n,m-1}$. Yendo más allá, las rutas totales se pueden expresar como la forma cerrada$\frac{(n-1+m-1)!}{(n-1)!(m-1)!}$.

Cuando el problema se amplía para permitir movimientos de derecha, derecha-abajo y abajo en cualquier cuadrado dado, la forma cerrada anterior se rompe. Como ejemplo de tablero$B$de tamaño$2\times 2$, el número total de caminos es tres ahora:$(B_{1,1}, B_{1,2}, B_{2,2}), (B_{1,1}, B_{2,2}), (B_{1,1},B_{2,1},B_{2,2})$. Todavía se podrían calcular las rutas totales con el método de matriz anterior, pero me interesa saber si existe una forma cerrada.