Demostrar la identidad (k2)(k2)k \choose 2 + (kk−2)(kk−2)k \choose k-2 + k2k2k^2 = (2k2)(2k2)2k \choose 2, donde k≥2k ≥2k\geq2 usando una prueba combinatoria.

Una prueba combinatoria para una identidad procede de la siguiente manera: Plantee una pregunta de conteo. Luego, responda la pregunta de dos maneras: una respuesta debe corresponder al lado izquierdo (LHS) de la identidad. La otra respuesta debe corresponder al lado derecho (RHS). Concluya que LHS es igual a RHS.

Usando este método de prueba, dé una prueba combinatoria de la identidad:

$k \choose 2$+$k \choose k-2$+$k^2$=$2k \choose 2$, dónde$k\geq2$

Entiendo que tienes que dividir esencialmente el$2k \choose 2$. Podría tratarlo como$m +n \choose 2$donde m y n son equivalentes e iguales a k. Y llego donde el$k \choose 2$y$k \choose k-2$vienen, pero no tengo idea de cómo el$k^2$entra en juego. y por qué eso está involucrado?