¿Qué representan los cuatro componentes de Dirac Spinors en el modelo estándar?

Question

¿Qué representan los cuatro componentes de Dirac Spinors en el modelo estándar?

jcelios

He estado tratando de entender los formalismos usados en el Modelo Estándar. Por lo que he recopilado, Dirac Spinors son objetos de 4 componentes diseñados para ser operados por Lorentz Transformations al igual que 4-Vectors en Relatividad especial. Sin embargo, también incorporan información adicional: Spin y "Handedness". Debido a la naturaleza de Spin, los espinores también se transforman de manera diferente a los vectores.

Esto me deja con la impresión de que los 4 componentes se pueden clasificar en: Left Handed y Spin Up, Left Handed y Spin Down, Right Handed y Spin up, Right Handed y Spin Down.

Mi pregunta es si esta impresión es la idea general correcta o no.

Trimok

Su base de bi-espinor de Dirac se llama base de Weyl o base quiral. Pero, para la ecuación de Dirac, hay diferentes bases, como la base de Dirac. Cada base corresponde a una representación diferente de las matrices gamma .

Respuestas (4)

¿Qué representan los cuatro componentes de Dirac Spinors en el modelo estándar?

Su base de bi-espinor de Dirac se llama base de Weyl o base quiral. Pero, para la ecuación de Dirac, hay diferentes bases, como la base de Dirac. Cada base corresponde a una representación diferente de las matrices gamma .

Mad Max · Answer 1

los 4 componentes se pueden clasificar como: Zurdo y Spin Up, Left Handed y Spin Down, Right Handed y Spin up, Right Handed y Spin Down.

Su clasificación depende de la representación en el contexto en que la ponga.

Sin embargo, existe una forma independiente de la representación de hacer lo mismo con dos proyecciones (ortogonales):

\begin{aligned} Proyección quiral & : \frac{1}{2} (1 \pm γ^{5}) = \frac{1}{2} (1 \pm i γ^{0} γ^{1} γ^{2} γ^{3}), \\ Proyección de giro & : \frac{1}{2} (1 \pm 2 S^{3}) = \frac{1}{2} (1 \pm i γ^{1} γ^{2}) . \end{aligned}

$\begin{aligned} \text{Chiral Projection}&:\ \frac{1}{2}(1\pm \gamma^5) = \frac{1}{2}(1\pm i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3), \\ \text{Spin Projection}&:\ \frac{1}{2}(1\pm 2S^3) = \frac{1}{2}(1\pm i\gamma^1\gamma^2). \end{aligned}$

La representación específica de la suya es elegir los 4 vectores propios de las proyecciones anteriores como base.

ajmeteli · Answer 2

ajmeteli

Depende de la representación de las matrices gamma. Pueden ser, por ejemplo, las cuatro combinaciones de electrón/positrón y spin up/spin down.

Miguel

En cualquier otra representación, los componentes son solo combinaciones lineales de estos. Entonces, la información contenida en ellos es la misma, solo que se empaqueta de manera diferente.

ajmeteli

@Michael Brown: Estoy de acuerdo, pero eso significa que los 4 componentes no pueden "clasificarse como: zurdo y giratorio", etc., como sugiere OP, independientemente de la representación.

innisfree

Los 4 grados de libertad son complejos, podría agregar que los grados de libertad adicionales son eliminados por EoM, etc.

Miguel

Quizás valga la pena aclarar que puedes clasificar los 4 grados de libertad de forma invariable usando los operadores de proyección

(γ^{μ} p_{μ} \pm m) / 2 m

$(\gamma^\mu p_\mu \pm m)/2m$ y

(1 \pm γ^{5}) / 2

$(1\pm\gamma^5)/2$ , que resultan tomar bonitas formas diagonales en una base particular. La base adaptada es buena si le interesan estos proyectores, aunque puede usar cualquier base que desee. Pero puedes ver por esta construcción que el contenido físico del campo es independiente de la representación.

ajmeteli

@Michael Brown: Nuevamente, estoy de acuerdo, pero OP no parece hablar sobre "el contenido físico del campo", sino que habla sobre el contenido físico de "los cuatro componentes", y esto depende de la representación .

Miguel

@EdwardHughes ¿Qué? Los electrones y los positrones corresponden a la frecuencia positiva (

u e^{- i p x}

$u e^{-ipx}$ ) y frecuencia negativa (

v e^{+ i p x}

$v e^{+ipx}$ ) soluciones de la ecuación de Dirac. Ambos están contenidos en el mismo campo de espinor de Dirac. Véase, por ejemplo, Peskin & Schroeder eq 3.99. Los operadores de proyección que mencioné proyectan en las partes izquierda y derecha de

u

$u$ y

v

$v$ . Ya sea que clasifique por partícula/antipartícula izquierda/derecha es equivalente a, pero solo una reorganización, girar arriba/abajo izquierda/derecha.

eduardo hughes

Disculpas, mis comentarios originales estaban equivocados. ¡Era tarde en la noche cuando los escribí! Sin embargo, no entiendo su afirmación de que la partícula/antipartícula puede simplemente "reorganizarse" para girar hacia arriba/abajo. Seguramente quiere decir que la partícula/antipartícula izquierda/derecha es equivalente a girar hacia arriba/abajo partícula/antipartícula dependiendo de lo que la representación manifieste.

timeo

@EdwardHughes Debe etiquetar a alguien (como yo lo etiqueté a usted) para que reciba una notificación de su comentario. Creo que el autor de la pregunta o respuesta que comentas puede ser notificado automáticamente, pero otros no.

usuario8817 · Answer 3

En un caso de representaciones $\left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)$ del grupo de Lorentz necesitamos tomar la suma directa de $\left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right) + \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)$ , si queremos hacer irreductibles nuestras representaciones. Se produce al actuar sobre operadores inversos de espacio (y tiempo) discretos sobre el espacio del grupo de Lorentz: transfieren $\left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)$ representación a $\left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)$ , asi que $\left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)$ sola no es la representación del grupo completo de Lorentz. Además, si queremos que nuestro campo sea real (no complejo), también debemos tomar la suma directa de repeticiones (por razonamiento analógico). Pero luego debemos actuar en el campo de representación de suma directa por el operador de proyección, que deja solo $n + m + 1$ componentes independientes de un campo como debe ser para el espín $s = \frac{n + m}{2}$ campo.

Entonces, hablemos de un caso especial. Dirac bispinor se refiere a la suma directa de $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ y $\left( 0, \frac{1}{2}\right)$ representaciones, que corresponden a representaciones con tirador izquierdo y tirador derecho (llamando quiralidad). Cada una de estas representaciones se refieren al giro. $\frac{1}{2}$ -partícula, y su proyección puede ser $\pm \frac{1}{2}$ . Pero la ecuación de Dirac, que es el operador de proyección en el espacio bidimensional de componentes independientes (como debe ser para spin $\frac{1}{2}$ be), mezcla estos componentes en general. sin embargo en un caso de $m = 0$ los componentes de diferente quiralidad no se mezclan entre sí, y la ecuación de Dirac conduce a dos ecuaciones independientes que se denominan ecuaciones de Weyl. Esto puede ser incluso en base a Dirac.

Además, las relaciones de anticonmutación entre las matrices de Dirac y la forma de la ecuación de Dirac no cambian bajo transformaciones unitarias: $\gamma ' = U\gamma U^{-1}, \Psi ' = U\Psi$ , por lo que al tomar $U = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 && \sigma_{y} \\ \sigma_{y} && -1\end{pmatrix}$ haces que las ecuaciones de espinor sean independientes. Entonces, en este caso, también puede usar su clasificación.

Garret Sobczyk · Answer 4

Un espinor de dos componentes se puede interpretar geométricamente como la representación de un punto en la esfera de Riemann, definido por la relación de sus dos componentes complejos y su proyección estereográfica en el plano xy. De manera similar, un espinor de cuatro componentes puede interpretarse, mediante una relación más complicada definida por sus cuatro componentes complejos, como un punto en la esfera de Riemann seguido de una transformación de Lorentz, y su proyección estereográfica en el plano proyectivo complejo $P^2_C$ . Mi trabajo reciente, "Análisis vectorial de espinores" y "Álgebra del espacio-tiempo de los espinores de Dirac", que aborda estos temas desconcertantes, se puede encontrar en mi sitio web: http://www.garretstar.com/

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