correspondencia twistor-espacio-tiempo

El espacio twistor ordinario está parametrizado por$(\lambda^\alpha,\mu_{\dot\alpha})$. Aquí el$\alpha$es de 2 valores$SL(2,C)$el índice de espinor de una quiralidad y el índice punteado es su complejo conjugado, el índice de la quiralidad opuesta.

A nivel de espinores, los vectores son equivalentes a "spintensores" con un índice sin puntos y otro con puntos.

Si no está familiarizado con esta equivalencia de vectores de "spintensores" con dos índices, observe que los componentes de un vector de 4 pueden organizarse como

Hasta ahora, solo ha sido una historia sobre los vectores o espinores. ¿Qué pasa con los twistores? Bueno, es una fórmula simple de una línea. si tengo un punto$x^\mu$que es equivalente a la$x^{\alpha \dot\alpha}$matriz - como cualquier vector de 4 - simplemente puedo escribir una ecuación

Ahora, tengo que explicar por qué las ecuaciones anteriores definen una línea. Primero el$\lambda$y$\mu$los objetos son pares de números complejos, por lo que en total tenemos cuatro coordenadas complejas. Sin embargo, el espacio twistor es un espacio proyectivo. Tenga en cuenta que si las ecuaciones anteriores se cumplen para algunos$\lambda$y$\mu$- cuatro números complejos - también se satisfarán si multiplicas ambos$\lambda$y$\mu$por un número complejo arbitrario (el mismo para ambos). Esta proyectividad se mantiene universalmente:$\mu$se escala naturalmente de la misma manera que$\lambda$porque puede entenderse como un objeto dimensionalmente inverso a$\lambda^{\dot\alpha}$(un objeto que apareció por primera vez en esta respuesta) que se escala de manera inversa en relación con$\lambda^\alpha$para mantener, por ejemplo, el vector$\lambda^\alpha \lambda^{\dot\alpha}$constante.

Así que el espacio twistor es realmente un espacio proyectivo complejo,$CP^3$, y las ecuaciones anteriores son dos condiciones complejas, por lo que nos queda un objeto de una (-compleja) dimensión, una línea compleja. Los puntos del espacio-tiempo están en correspondencia biunívoca con líneas complejas en el espacio twistor.

Se pueden traducir muchas más cosas. Por ejemplo, si dos puntos del espacio-tiempo están separados por un intervalo nulo, las dos líneas correspondientes en el espacio del twistor se cruzan. La intersección -un punto en el espacio del twistor- puede identificarse con una línea nula en el espacio de Minkowski, y podría derivar muchas otras cosas de este tipo.

Me gustaría agregar algunos puntos más a las respuestas anteriores en la correspondencia Twistor Space <--> Spacetime.

El espacio Twistor T es un espacio de cuatro dimensiones complejas con elementos descritos por$(Z^0,Z^1,Z^2,Z^3)$o$Z^{\alpha}=(\omega^A,\pi_{A'})$en términos de spinor. La relación de incidencia entre los puntos de Minkowski y los Twistors viene dada (en forma de spinor) por:

$\omega^A=ix^{AA'}\pi_{A'}$

(Además de una representación diferente de$x^{AA'}$a la de Lubos también cabe señalar que existe una ambigüedad cuádruple en la representación de un punto del espacio-tiempo por un Twistor$(Z^{\alpha},-Z^{\alpha},iZ^{\alpha},-iZ^{\alpha})$todos tienen el mismo punto ya que hay dos juegos de cubierta doble involucrados).

Este Espacio Twistor contiene una norma

$||Z||=Z^AZ^c_{A}=\omega^A\pi^c_{A} + \omega^{cA'}\pi_{A'}$dónde$^c$denota la conjugación del complejo spinor/twistor.

Hay dos conjuntos de reducciones al espacio de Twistor para obtener la correspondencia del espacio de Minkowski:

1. ||Z||=0 estos son los Twistors nulos - el espacio a veces denotado N .

2. Módulo T$\lambda Z^{\alpha}$- el espacio denotado PT -Espacio Twistor proyectivo.

Poniendo estos dos juntos obtenemos PN - Null Twistor Space proyectivo. Es PN el que se asigna al espacio de Minkowski a través de la relación de incidencia, es decir, twistores proyectivos nulos.

Esto plantea la pregunta de a qué corresponden los casos más generales de mapeos de Twistor.

En general , PT se asigna al espacio Complejizado de Minkowski. Este espacio tiene la$(x^0,x^1,x^2,x^3)$se convierten en números complejos y la métrica se convierte en una extensión analítica compleja de la métrica de Minkowski. Los Twistors no nulos se convierten en planos complejos en ese espacio.

El mapeo del espacio Complexified Minkowski tenía varios atractivos en la teoría original de Twistor, incluida la idea de que en un contexto de espacio curvo, tal vez la desaparición de un punto como una Singularidad podría verse simplemente como su desaparición del espacio real de Minkowski, pero no el Twistor más básico. espacio.

Finalmente en la relación de Incidencia estamos asumiendo que$\pi_{A'}$es distinto de cero. En ese caso, la relación de Incidencia podría considerarse geométricamente como un mapeo de una finalización Compactada del Espacio Complejo de Minkowski que incluye el cono nulo en el Infinito y, por lo tanto, las otras construcciones del Espacio Compactado de Minkowski utilizadas en los diagramas de Penrose.

Dada la respuesta de Luboš, un buen lugar para aprender sobre este tema es directamente de la boca del caballo: Spinors and Space-Time: Volume 1, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields and Spinors and space-time: Spinor and twistor method in space-time geometría _