Significado geométrico del transporte paralelo

Ambos$t^a$y$v^b$son campos vectoriales definidos (al menos) en$C$y$t^a$puntos a lo largo$C$. Si$t^a\nabla_av^b=0$en todas partes en$C$y tu tomas$v^b$en un punto particular$p$en$C$entonces$v^b$en todos los demás puntos de$C$se da transportando en paralelo ese valor inicial de valor de$v^b$de$p$a lo largo de$C$(es decir, a lo largo de la tangente$t^a$).

Otra forma de pensarlo es que la derivada covariante en una dirección dada es la tasa de cambio del campo vectorial con respecto al vector transportado en paralelo. Por lo tanto, si el campo vectorial no cambia con respecto al vector transportado en paralelo (es decir,$t^a\nabla_av^b=0$) entonces el campo en cada punto es igual al vector transportado.

Penrose tiene una buena explicación visual de la relación entre el transporte paralelo y la derivada covariante en Road to Reality Ch 14, p298:

Creo que la respuesta a esto es básicamente sí. Tienes que tener cuidado porque, en general, no puedes interpretar los productos internos en relatividad como medidas de si algo es "ortogonal" a otra cosa en el sentido euclidiano. Por ejemplo, un vector similar a la luz tiene un producto interno cero consigo mismo. Esto se debe a que la métrica no es la métrica euclidiana. Sin embargo, la ecuación$t^a \nabla_a v^b = 0$en realidad no implica la métrica en el siguiente sentido. Como un ejemplo simple, supongamos que tiene un campo vectorial$\textbf{v}$, el espacio-tiempo es plano, estás usando coordenadas$(p,q)$, y desea saber si una parte del campo que se encuentra a lo largo de la$p$eje constituye el transporte paralelo. Dado que el espacio-tiempo es plano en mi ejemplo, el operador$\nabla_a$es simplemente un sinonimo de$\frac{\partial}{\partial x^a}$. El vector tangente tiene$t^p=1$y$t^q=0$. Entonces, en este ejemplo, la condición para el transporte paralelo es simplemente

$$t^p \frac{\partial \textbf{v}}{\partial x^p}=1\cdot\frac{\partial \textbf{v}}{\partial x^p}=0.$$

No hay necesidad de subir o bajar aquí. Simplemente estás tomando los componentes del vector$\textbf{v}$y diferenciándolos con respecto a la coordenada$p$(también conocido como$x^p$). Dado que la métrica no está involucrada, esto realmente es solo un derivado direccional, como dice DanielSank en su comentario.

Por supuesto, si el espacio-tiempo no fuera plano, la métrica importaría porque entraría en la definición de la derivada covariante, pero no creo que esto afecte la interpretación, que es simplemente que se trata de una derivada direccional.

Para abordar la primera pregunta, puede considerar

$$\nabla_av^b := v^b ,_a$$ desde $$\nabla : \Gamma(E) \rightarrow \Gamma(E\otimes T^*M)$$ donde E es cualquier sección (por ejemplo, el paquete tangente en cuestión)

y contrayéndolo con el campo vectorial tangente de la curva se obtiene

$$t^av^b,_a = 0$$ esto es similar a contraer un campo vectorial con un vector dual $$t^av_a$$ Entonces, sí, puede considerarlo de alguna manera como el "producto interno", ya que la contracción en el caso de un vector y un vector dual es básicamente el producto interno familiar.

Sobre la segunda pregunta. No estoy seguro de que puedas comparar el gradiente y la tangente así. Esto podría ayudar a aclarar.

https://math.stackexchange.com/questions/290903/difference- between-a-gradient-and-tangent