Gradiente, divergencia y rotacional con derivadas covariantes

Question

Gradiente, divergencia y rotacional con derivadas covariantes

Física
covarianza
convenciones
campos vectoriales
diferenciación
cálculo tensorial

mlainz

Estoy tratando de hacer el ejercicio 3.2 de Sean Carroll's Spacetime and geometric. Tengo que calcular las fórmulas del gradiente, la divergencia y el rotacional de un campo vectorial usando derivadas covariantes.

La derivada covariante es la derivada ordinaria de un escalar, por lo que

D_{m} F = \partial_{m} F

$D_\mu f = \partial_\mu f$

que es diferente de

\frac{\partial F}{\partial r} \hat{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial F}{\partial θ} \hat{θ} + \frac{1}{r pecado θ} \frac{\partial F}{\partial φ} \hat{φ}

${\partial f \over \partial r}\hat{\mathbf r} + {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\hat{\boldsymbol \theta} + {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \varphi}\hat{\boldsymbol \varphi}$

Además, para la divergencia, usé

\nabla_{m} V^{m} = \partial_{m} V^{v} + Γ_{m λ}^{m} V^{λ} = \partial_{r} V^{r} + \partial_{θ} V^{θ} + \partial_{ϕ} V^{ϕ} + \frac{2}{r} v^{r} + \frac{V^{θ}}{broncearse (θ)}

$\nabla_\mu V^\mu=\partial_\mu V^\nu + \Gamma^{\mu}_{\mu \lambda}V^\lambda = \partial_r V^r +\partial_\theta V^\theta+ \partial_\phi V^\phi + \frac2r v^r+ \frac{V^\theta}{\tan(\theta)}$

Lo cual tampoco funcionó.

(Wikipedia: ${1 \over r^2}{\partial \left( r^2 A_r \right) \over \partial r} + {1 \over r\sin\theta}{\partial \over \partial \theta} \left( A_\theta\sin\theta \right) + {1 \over r\sin\theta}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}$ ).

iba a intentar

(\nabla \times \vec{V})^{m} = ε^{m v λ} \nabla_{v} V_{λ}

$(\nabla \times \vec{V})^\mu= \varepsilon^{\mu \nu \lambda}\nabla_\nu V_\lambda$

Pero creo que eso no funcionará. ¿Qué me estoy perdiendo?

EDITAR: el problema es que la base ortonormal utilizada en el cálculo vectorial es diferente de la base de coordenadas.

una mente curiosa

Dices "que es diferente de" . No, no lo es. ¿Por qué crees que es diferente?

mlainz

Creo que

\partial_{μ} f = (\partial_{r} f, \partial_{θ} f, \partial_{ϕ} f)

$\partial_\mu f= (\partial_r f, \partial_\theta f, \partial_\phi f)$ . ¿Por qué estoy equivocado?

Javier

¿Por qué no funcionó tu divergencia?

honeste_vivere

\nabla_{μ} V^{ν}

$\nabla_{\mu} V^{\nu}$

\equiv

$\equiv$

\partial_{μ} V^{ν}

$\partial_{\mu} V^{\nu}$ +

Γ_{μ λ}^{ν} V^{λ}

$\Gamma_{\mu \lambda}^{\nu} V^{\lambda}$ , dónde

Γ_{μ λ}^{ν}

$\Gamma_{\mu \lambda}^{\nu}$ es un símbolo de Christoffel del segundo tipo y está relacionado con el tensor métrico de su sistema.

Javier

Respuesta corta porque no puedo escribir una en este momento: sus fórmulas son correctas en una base de coordenadas, pero las tablas habituales tienen fórmulas escritas en una base ortonormal, que no es lo mismo que la base de coordenadas.

mlainz

¿Puedes explicar eso?

ryan unger

Lo que dice @Javier (creo, corrígeme si me equivoco) es que tu

V^{θ}, . . .

$V^\theta,...$ no son los mismos que los de la referencia

A_{θ}, . . .

$A_\theta,...$ . No están escritos en el mismo sistema de coordenadas, sospecho que algo sucede con los factores de escala .

Respuestas (5)

Gradiente, divergencia y rotacional con derivadas covariantes

Dices "que es diferente de" . No, no lo es. ¿Por qué crees que es diferente?
Creo que $\partial_\mu f= (\partial_r f, \partial_\theta f, \partial_\phi f)$ . ¿Por qué estoy equivocado?
$\nabla_{\mu} V^{\nu}$ $\equiv$ $\partial_{\mu} V^{\nu}$ + $\Gamma_{\mu \lambda}^{\nu} V^{\lambda}$ , dónde $\Gamma_{\mu \lambda}^{\nu}$ es un símbolo de Christoffel del segundo tipo y está relacionado con el tensor métrico de su sistema.
Respuesta corta porque no puedo escribir una en este momento: sus fórmulas son correctas en una base de coordenadas, pero las tablas habituales tienen fórmulas escritas en una base ortonormal, que no es lo mismo que la base de coordenadas.
Lo que dice @Javier (creo, corrígeme si me equivoco) es que tu $V^\theta,...$ no son los mismos que los de la referencia $A_\theta,...$ . No están escritos en el mismo sistema de coordenadas, sospecho que algo sucede con los factores de escala .

Fratauro · Answer 1

Para el gradiente, su error es que los componentes del gradiente varían de forma contravariante. Además de eso, hay un problema con la normalización que analizo a continuación. No sé si está familiarizado con la geometría diferencial y cómo funciona, pero básicamente, cuando escribimos un vector como $v^\mu$ realmente estamos escribiendo sus componentes con respecto a una base.

En geometría diferencial, los vectores son entidades que actúan sobre funciones $f : M \rightarrow \mathbb{R}$ definido en la variedad. Díganme si quieren que me extienda, pero esto implica que los vectores base dados por algún conjunto de coordenadas son $\partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}$ y varían covariablemente. Llamemos a esos vectores base $e_\mu$ para volver a la notación de álgebra lineal "familiar".

Sabiendo eso, cualquier vector es un invariante que se puede escribir como $\vec{V} = V^\mu \partial_\mu$ . La clave aquí es que es invariable, por lo que será el mismo sin importar la base de coordenadas que elija.

Ahora, el gradiente se define en el espacio euclidiano simplemente como el vector con coordenadas $\partial_i f = \partial^if$ dónde $i = \{x,y,z\}$ . Tenga en cuenta que en coordenadas cartesianas, los componentes covariantes y contravariantes son los mismos. Entonces, la cantidad invariante es $\vec{\nabla}f = \partial^ife_i$ . Tenga en cuenta que, por lo que hicimos antes, las componentes de un vector deben tratarse como contravariantes.

Ahora, dado que esta expresión es invariante, obtenemos, en coordenadas generales $\vec{\nabla}f = \partial^\mu fe_\mu$ . Entonces, lo que está buscando al calcular los componentes es $\partial^\mu f = g^{\mu\nu}\frac{\partial f}{\partial x^\nu}$ . Esto da $\vec{\nabla}f = \frac{\partial f}{\partial r} e_r + \frac{1}{r^2}\frac{\partial f}{\partial \theta} e_\theta +\frac{1}{r^2 \sin^2\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} e_\phi$ . Esto todavía no es lo que estamos buscando.

Esto se debe a que los vectores base no están normalizados. De hecho, tome un vector específico $e_I$ . Sus componentes son $\delta^\mu_I$ por definición (es un vector base). Entonces, $|e_I|^2 = e_I^\mu e_I^\nu g_{\mu\nu} = g_{II}$ . Genial entonces ! Usando $e_i' = e_i/\sqrt{g_{ii}}$ como vectores base normalizados, obtenemos la respuesta correcta: $\vec{\nabla}f = \frac{\partial f}{\partial r} e_r' + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} e_\theta' +\frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} e_\phi'$

Pasemos a la divergencia. Parece más fácil ya que es un escalar, no hay un vector base con el que jugar. Bueno, en realidad todavía hay algunos problemas relacionados con eso. Tu fórmula es correcta, de nuevo, excepto que cuando escribes la fórmula invariable $\nabla_\mu V^{\mu}$ implícitamente utiliza la base que definimos anteriormente. Esto significa que no está trabajando de forma normalizada. sabemos que el $\vec{V}$ usaste es $\vec{V} = V^\mu e_\mu = V^\mu \sqrt{g_{\mu\mu}}e_\mu'$ . Entonces, para comparar la fórmula, debe introducir el vector con respecto a las coordenadas normalizadas, $A^\mu= V^\mu\sqrt{g_{\mu\mu}}$ . Te dejaré conectarlo en tu fórmula (correcta) para ver si funciona.

Para concluir, su fórmula para el rizo debería ser correcta. Solo tenga cuidado de usar las normalizaciones correctas para los vectores y debería estar bien (también tenga cuidado con la forma tensorial del tensor levi-civita, que involucra el determinante de la métrica). No tengo la fe para hacer los cálculos por ti, pero definitivamente deberías intentarlo para asegurarte de que lo entendiste bien.

PD: solo para completar, para la divergencia hay una fórmula bastante útil que también se usa en el libro de Sean Caroll: $\vec{\nabla}\cdot\vec{V} = \frac{1}{\sqrt{g}}\partial_\mu(\sqrt{g}V^\mu)$ , útil cuando eres demasiado perezoso para calcular Christoffels.

¿Y el laplaciano? Parece que la respuesta correcta se obtiene incluso cuando se 'reescribe' a los componentes físicos ( $A^{\mu}=V^{\mu}\sqrt{g_{\mu \mu}}$ ) no se ha llevado a cabo (lo que se requiere para la divergencia)?
Por lo general, se toma el Laplaciano de una cantidad escalar f, es decir $\Delta f$ . Por lo tanto, no hay problemas con esta normalización ya que no hay vectores que volver a normalizar a "componentes físicos".
Tres años más tarde, esta respuesta realmente me ayudó en una tarea en mi clase de geometría diferencial. ¡Muchas gracias!

Slereah · Answer 2

El gradiente es un vector, no un covector, por lo tanto:

\vec{\nabla} F = \nabla^{m} F = {gramo}^{m v} \nabla_{v} F = {gramo}^{m v} \partial_{v} F

$\begin{equation} \vec{\nabla} f = \nabla^\mu f = g^{\mu\nu} \nabla_\nu f = g^{\mu\nu} \partial_\nu f \end{equation}$

Woah woah woah desde cuando un gradiente es un vector? $\vec{\nabla} \phi \cdot \vec{v}$ es un escalar. Si escalo las coordenadas, $\vec{\nabla}\phi$ seguro que tenía mejor escala opuesta a $\vec{v}$ , entonces no lo es $\vec{\nabla}\phi$ un covector?
¿Eso da el resultado correcto? la métrica es $diag (1, r^2, r^2sin^2\theta)$ que no parece dar el resultado deseado. Hay algún término adicional en alguna parte.
Sé que esto es antiguo, pero creo que vale la pena señalar que esto es absolutamente incorrecto. El gradiente no es un vector, es de una sola forma, es decir, un tensor covariante o covector de rango 1.

miguel miguel · Answer 3

Hice dos videos de YouTube explicando cómo debido precisamente a estos problemas.

El primero explica cómo usar derivadas covariantes estándar (lo que está usando) para calcular la divergencia y el gradiente en coordenadas esféricas:

https://www.youtube.com/watch?v=jEvPY6-ISUI

Y el otro explica cómo calcular el rotacional en coordenadas esféricas usando derivadas covariantes:

https://www.youtube.com/watch?v=ZatyvboG58Q

Muestran el cálculo explícito para los tres operadores y explican los principios detrás del proceso para que pueda aplicarse fácilmente a otros casos en el futuro. Literalmente responden con precisión a su pregunta.

lalala · Answer 4

Este problema está muy bien abordado en Weinbergs Gravitation and Cosmology, capítulo 4 ig. Lo recuerdo correctamente. Básicamente, hay un problema que genera confusión: en física se utilizan coordenadas ortogonales, por ejemplo, esféricas o cilíndricas. Esto conduce a un elemento de línea diagonal. Esto permite normalizar los vectores base naturales. Así que si los elementos diagonales se llaman $h_i$ entonces un 'vector' V en física no es un vector covariante ni contravariante, sino $V_j = h_j W_j$ con W un vector y sin suma de Einstein. Entonces, para pasar de las matemáticas a la física y viceversa, debe realizar un seguimiento de las $h_i$ .

Saksith Jaksri · Answer 5

Necesita formas diferenciales

(d F)^{♯} = d i v (F) = \vec{\nabla} F (d \tilde{v})^{♯} = C tu r yo (\vec{v}) = \vec{\nabla} \times \vec{v} d^{2} = 0 : (d^{2} F)^{♯} = C tu r yo (gramo r a d (\vec{v})) = \vec{\nabla} \times \vec{\nabla} F (= 0) (d^{2} \tilde{v})^{♯} = d i v (C tu r yo (\vec{v})) = \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \times \vec{v} (= 0)

$(d f)^{\sharp}= div (f) = \vec \nabla f \\ (d \tilde v)^\sharp= curl (\vec v) = \vec \nabla \times \vec v \\ d^2=0 \;:\\ (d^2 f)^\sharp = curl(grad(\vec v ))= \vec \nabla \times\vec \nabla f\quad (=0) \\ (d^2 \tilde v)^\sharp =div(curl(\vec v)) =\vec\nabla \cdot \vec \nabla \times \vec v \quad (=0)$ dónde

f

$f$ es un campo escalar,

\vec{v}

$\vec v$ un campo vectorial,

^{♯}

${}^\sharp$ es un mapa del paquete cotangente al paquete tangente con un mapa inverso

^{♭}

${}^{\flat}$ . Entonces

\tilde{v} = (\vec{v})^{♭}

$\tilde v = (\vec v)^\flat$

Para divergencia : del conocimiento básico sobre formas diferenciales podemos deducir que

d ⋆ j = - (\nabla_{m} j^{m}) V o yo

$d \star j = -(\nabla_\mu j^\mu) Vol$

En cualquier número de dimensiones también tenemos

C tu r yo \vec{V} \equiv \nabla \land (\vec{V})^{♭}

$Curl\; \vec V \equiv \nabla \wedge (\vec V)^\flat$ o podemos escribir

C tu r yo V = \nabla_{m} V_{v} - \nabla_{v} V_{m}

$Curl\; V = \nabla_\mu V_\nu -\nabla_\nu V_\mu$

Gradiente, divergencia y rotacional con derivadas covariantes

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