¿Qué son ∂t∂t\partial_t y ∂μ∂μ\partial^\mu?

Estoy leyendo la página de Wikipedia para la ecuación de Dirac :

ρ = ϕ ∗ ϕ

......

j = − i ℏ 2 metro ( ϕ ∗ ∇ ϕ − ϕ ∇ ϕ ∗ )

con la conservación de la corriente de probabilidad y la densidad siguiente de la ecuación de Schrödinger:

∇ ⋅ j + ∂ ρ ∂ t = 0.

El hecho de que la densidad sea definida positiva y convexa de acuerdo con esta ecuación de continuidad, implica que podemos integrar la densidad sobre un cierto dominio y establecer el total en 1, y esta condición se mantendrá por la ley de conservación. Una teoría relativista adecuada con una corriente de densidad de probabilidad también debe compartir esta característica. Ahora bien, si deseamos mantener la noción de una densidad convectiva, entonces debemos generalizar la expresión de Schrödinger de la densidad y la corriente para que las derivadas del espacio y el tiempo entren nuevamente simétricamente en relación con la función de onda escalar. Se nos permite mantener la expresión de Schrödinger para la corriente, pero debemos reemplazarla por densidad de probabilidad por la expresión formada simétricamente

ρ = i ℏ 2 metro ( ψ ∗ ∂ t ψ − ψ ∂ t ψ ∗ ) .

que ahora se convierte en el cuarto componente de un vector de espacio-tiempo, y toda la densidad de 4 corrientes tiene la expresión covariante relativista

j m = i ℏ 2 metro ( ψ ∗ ∂ m ψ − ψ ∂ m ψ ∗ )

  1. que son exactamente ∂ t y ∂ m ?

  2. ¿Son tensores?

  3. Si lo son, ¿cómo se definen?

Respuestas (2)

∂ t ≡ ∂ ∂ t y ∂ m ≡ gramo m v ∂ ∂ X v = ( ∑ v = 0 3 gramo m v ∂ ∂ X v ) m = 0 3 son operadores diferenciales. ∂ m es formalmente contravariante (índice superior) y obedece las leyes de transformación correspondientes. ∂ t tiene un índice más bajo y es (hasta un factor constante) un componente del operador formalmente covariante ∂ m a través de ∂ 0 = 1 C ∂ t , que, en general, no es igual a ∂ 0 , la componente cero de ∂ m .

El operador diferencial ∂ m se conoce como gradiente, que deriva campos vectoriales de funciones potenciales. El gradiente no es una operación natural en variedades arbitrarias y solo está disponible si hay una métrica. es doble ∂ m ≡ ∂ ∂ X m por otro lado es una operación natural correspondiente al diferencial d , llevando potenciales a formas 1 (covectorfields).

Como nota al margen, ∂ t también puede entenderse como un campo vectorial local, ya que una de las definiciones intrínsecas de los vectores en las variedades es a través de sus derivadas direccionales. En la literatura matemática, es común escribir la base del espacio tangente como { ∂ ∂ X m } y su espacio dual como { d X m } .

Dos puntos: (1) ∂ m no corresponde a la derivada exterior d , ya que necesita que sea antisimétrico en los índices; (2) en general ∂ m es la base de un campo vectorial en coordenadas locales. (Solo he visto "campo de vector local" para "un campo de vector definido en un parche de coordenadas y no en otros").
@AlexNelson: re (1), eso fue un poco descuidado de mi parte, pero es cierto para el caso que mencioné explícitamente d : Ω 0 ( METRO ) = C ∞ ( METRO ) → Ω 1 ( METRO ) = Γ ( T ∗ METRO ) , F ↦ d F = ∂ m F d X m ; re (2): cualquier elemento de la base local es un campo vectorial definido en el parche de coordenadas correspondiente, por lo que no veo ninguna contradicción
re (2) mi punto es que un campo vectorial local no es lo mismo que un campo vectorial en la variedad expresado en coordenadas locales, ya que este último es global .
@AlexNelson: las expresiones de coordenadas para campos vectoriales (globales) son campos vectoriales locales; el campo vectorial completo viene dado por expresiones coordinadas para un conjunto de parches de cobertura

Dependiendo de la notación utilizada, ∂ m podría ser un tensor, refiriéndose a los cuatro vectores ( ∂ 0 , ∂ 1 , ∂ 2 , ∂ 3 ) . Sin embargo, en el contexto de la ecuación anterior, puede tratar ambos ∂ t y ∂ m como escalares que se refieren a la diferenciación parcial por X t y X m correspondientemente

La definición exacta de ∂ t no es uniforme en la literatura, a veces se establece en ∂ 0 , de lo contrario a 1 C ∂ 0 . Sin embargo, con C = 1 , esto rara vez importa.

Nótese además que al tiempo se le asigna el componente cero o cuarto del espacio-tiempo.

Sí, los componentes individualmente parecen escalares, ¡pero no lo son! Se transforman como tensores . Específicamente ∂ m se transformará como un tensor contravariante de rango 1, y ∂ t se transforma inusualmente (¡pero no como un escalar! ).
¿Qué son ∂t∂t\partial_t y ∂μ∂μ\partial^\mu?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v