Gradiente de una sola forma [duplicado]

Creo que tu última oración muestra que estás en el camino correcto. Una forma es un funcional lineal que asigna vectores a números reales. Le das un vector como entrada y, como dices, devuelve la tasa de cambio en la dirección implícita.

Digamos que tenemos un camino cuya tangente en un punto está definida por el vector$v^j\,\partial_j$- el operador diferencial que opera en un campo escalar suave$\psi$y devuelve la derivada total$\mathrm{D}_v\psi = v^j\,\partial_j\,\psi$. Una forma$\mathrm{d}u$, siendo un funcional de vectores lineal y homogéneo, se define completamente por sus valores en los vectores base, es decir, por sus valores$u_1,\,u_2,\,\cdots$Vectores tangentes a la base$\partial_1,\,\partial_2,\,\cdots$(en componentes, estos últimos son$(1,0,0,\cdots),\, (0,1,0,\cdots),\,\cdots$)

Bueno, el gradiente$\nabla\phi$es simplemente una bestia. Su valor cuando ingresamos el vector tangente$\partial_j$con componentes$(0,0,,\cdots,1,\,\cdots)$(con un "1" en el$j^{th}$posición), el valor del funcional es$\partial\phi/\partial x^j$.

Simplemente sumamos estos valores básicos por superposición: tome el producto interno con el vector$(v^1,\,v^2,\,\cdots)$para encontrar el valor del funcional y su valor es$v^j\,\partial\phi/\partial x^j$- la tasa de cambio total de$\phi$en la dirección implícita por$\vec{v}$.

También me gusta la visualización de Schutz de una forma como un sistema de hiperplanos: el valor es la velocidad a la que un vector atraviesa los hiperplanos. La forma clásica y prototípica es el número de onda, donde imaginas frentes de fase. La velocidad a la que un vector$\vec{r}$perfora los frentes de fase es$k(\vec{r})$; en óptica a menudo perdemos de vista esto y tratamos$k(\cdot)$como vector Si queremos conciliar esto con lo anterior, entendemos que el número de onda tiene significado como un producto interno , por lo que el vector de onda en óptica, si estuviéramos calculando en un espacio curvo, es el número de onda de una forma convertido en un vector al elevar su índice con la métrica: la$\vec{k}$sabemos y amamos en la óptica es de hecho el "afilado"$\vec{k} = k()^\sharp$(una forma abreviada de elevar un índice) de modo que$\vec{k}^\mu = g^{\mu\,\nu}\,k(\cdot)_\nu$. Creo que sería esclarecedor leer y pensar sobre el número de onda en el espacio-tiempo de Minkowski .