Notación del generador de conjuntos: dos puntos o línea vertical

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Notación del generador de conjuntos: dos puntos o línea vertical

lógica
notación
Matemáticas
Matemáticas discretas
teoría elemental de conjuntos

kevin largo

Recuerdo que una vez escuché de improviso que en la notación de construcción de conjuntos, había una diferencia entre usar dos puntos y una línea vertical, por ejemplo $\{x: x \in A\}$ Opuesto a $\{x\mid x \in A\}$ . He intentado buscar la distinción, pero me he quedado con las manos vacías.

Martín Sleziak

Parece que algunas personas usan punto y coma .

egreg

@MartinSleziak Sí; en un artículo del que fui editor, se usaron las tres notaciones. El artículo tuvo tres autores.;-)

egreg

No hay diferencia, como han dicho otros. Solo sé consistente: en un trabajo o libro usa siempre lo mismo.

Respuestas (5)

Notación del generador de conjuntos: dos puntos o línea vertical

@MartinSleziak Sí; en un artículo del que fui editor, se usaron las tres notaciones. El artículo tuvo tres autores.;-)
No hay diferencia, como han dicho otros. Solo sé consistente: en un trabajo o libro usa siempre lo mismo.

noah schweber · Answer 1

No hay ninguna diferencia de la que yo haya oído hablar. Prefiero fuertemente" $\vert$ " a " $\colon$ ", sin embargo, porque a menudo me interesan los conjuntos de mapas y, por ejemplo,

{F ∣ F : R \to C con F (6) = 24}

$\{f \mid f\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}\text{ with $f(6)=24$}\}$ es más fácil de leer que

{F : F : R \to C con F (6) = 24}

$\{f: f\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}\text{ with $f(6)=24$}\}$ .

EDITAR: tenga en cuenta que, como muestra la respuesta de Mike Pierce, a veces " $:$ " es más claro. Al final del día, use la notación que sea más clara para su contexto .

Excepto quizás si las condiciones requieren valores absolutos...
@Bernard Ciertamente ninguno es perfecto. (Sin embargo, rara vez trato con valores absolutos). He visto un punto, ".", usado, y me gusta, pero nunca lo he visto usado en una publicación , así que no lo usaría.
Ah gracias. Quizás solo confundí la distinción lógica con la claridad gramatical.
Como un ejemplo donde los dos puntos podrían ser preferibles, tome un conjunto donde la membresía se define por condiciones de divisibilidad: $\{ d \in \mathbb{Z}^+: d|m \; \land \; d|n\}$ .
$\{f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{C} : f(6) =24 \}$ también es legible: dos puntos dobles, pero sin doble "f"
Oh, chico, finalmente una excusa legítima para que saque esos $f \in \{ \mathbb{R} \to \mathbb{C} \}$ o $f \in \mathbb{C}^\mathbb{R}$ notaciones! (Es cierto que lo primero implica agregar más corchetes, pero por alguna razón no me molesta en lo más mínimo, supongo que porque el anidamiento es muy superficial (editar: y porque la expresión adjunta es pequeña).)

mike pierce · Answer 2

No hay diferencia. La barra suele ser más fácil de leer que los dos puntos (como en el ejemplo de la respuesta de Noah Schweber). Sin embargo, en análisis y probabilidad, la barra se usa en otra notación. En análisis se usa para valor absoluto (o distancia o normas) y en probabilidad se usa en enunciados condicionales (la probabilidad de $A$ dado $B$ es $\operatorname{P}(A \mid B)$ ). Entonces, mirando la barra contra los dos puntos en conjuntos con estas notaciones

{X \in X ∣ | | X | - | y_{0} | | < ε} contra {X \in X : | | X | - | y_{0} | | < ε}

$\{x \in X \mid ||x|-|y_0||<\varepsilon\} \quad\text{vs}\quad \{x \in X : ||x|-|y_0||<\varepsilon\}$

{A \subset X ∣ PAG (B ∣ A) > 0.42} contra {A \subset X : PAG (B ∣ A) > 0.42}

$\{A \subset X \mid \operatorname{P}(B \mid A) > 0.42\} \quad\text{vs}\quad \{A \subset X : \operatorname{P}(B \mid A) > 0.42\}$ puede ser mejor usar los dos puntos solo para evitar sobrecargar la barra .

En tales casos utilizo diferentes tamaños de la barra vertical, por ejemplo ${X \in X | | | X | - | y_{0} | | < ε} .$ $\Big\{x\in X \ \Big|\ \big||x|-|y_0|\big| < \varepsilon \Big\}.$
@dtldarek, sí, el tuyo es fácil de leer (y creo que se ve mejor que con dos puntos). Mi único problema es que al hacer que la barra sea más alta, no puedes escribir esto en línea o, de lo contrario, la extensión de línea comenzará a verse rara (como lo que sucede cuando ves sumas o productos con $\sum$ o $\prod$ escrito en línea).

príncipe m · Answer 3

Parece que se han proporcionado muchas buenas respuestas y ejemplos, pero no vi que se mencionara anteriormente que, independientemente del símbolo que elija usar, en el contexto del generador de conjuntos, ambos se leerían en voz alta como "tal que".

En cuanto a mi ejemplo de preferencia, a menudo trabajo en teoría de números, por lo que uso los dos puntos, ":", para evitar que la barra se malinterprete como "divide", o por razones estéticas si también voy a usar la barra para significar divide en la especificación del conjunto.

brandon klein · Answer 4

brandon klein

Ambos son medios y prácticas aceptables dentro de la comunidad. La mayoría de las personas que conozco prefieren el método de línea porque proporciona una separación clara y se puede usar si está definiendo su conjunto en varias líneas de trabajo inicial.

Bernardo

También está el punto y coma.

malicia vidrina

Y ahí está la antigua notación Principia

\hat{x} (ϕ)

$\hat{x}(\phi)$ que no permite decorar el

x

$x$ , pero por lo demás es tan claro como la notación en

ϕ

$\phi$ . O lo sería si alguien todavía lo reconociera.

carl mummert

Si alguien todavía lo reconoció, de hecho

brandon klein

Mi profesor de cálculo multivariable usó esa notación el año pasado. Aunque no lo he visto en ningún otro lado :(

usuario541686 · Answer 5

Recientemente me di cuenta de que los leo de manera diferente. Para mí, |actúa más como un "filtro" sobre un conjunto más grande, mientras que :actúa más como un "generador" de una expresión más pequeña.
Sin embargo, esto no es 100% exacto. Por lo general, estoy bien :actuando como un filtro también... pero menos actuando |como un generador.

Por ejemplo, esto me parece chocante :

\begin{aligned} t^{*} = máximo {t_{i} | \frac{\partial F_{i}}{\partial X_{i}} = 0} \end{aligned}

$\begin{align} t^* = \max \left\{ t_i\ \middle|\ \frac{\partial f_i}{\partial x_i} = 0 \right\} \end{align}$

mientras que esto me parece bien :

\begin{aligned} t^{*} = máximo {t_{i} : \frac{\partial F_{i}}{\partial X_{i}} = 0} \end{aligned}

$\begin{align} t^* = \max \left\{ t_i : \frac{\partial f_i}{\partial x_i} = 0 \right\} \end{align}$

Esto es porque cuando leo $t_i\ |\ \ldots$ Espero que el lado derecho contenga algunas restricciones sobre los posibles valores de $t_i$ , que de lo contrario asumo que son todos los valores razonables (por ejemplo, todos los números reales).
Pero cuando leo $t_i : \ldots$ Espero ver una expresión que me diga cómo generar el conjunto de $t_i$ , y eso no tiene por qué implicar $t_i$ sí mismo en absoluto.

No sé si todo el mundo los lee así, pero para mí no siempre son intercambiables , aunque con frecuencia lo son.

Ambos parecen discordantes, ya que $t_i$ ni siquiera es una variable en la instrucción RHS.
No sé lo que estás tratando de escribir, así que no puedo decírtelo.
@AsafKaragila: Ya tengo $t_1, \ldots, t_n$ y yo tengo $f_i, \ldots, f_n$ y yo tengo $x_1, \ldots, x_n$ (con la correspondencia obvia a través de las secuencias basadas en los índices). Estoy tratando de decir "el $\max$ de todo $t$ 's correspondiente a la $f$ 's cuyas derivadas parciales con respecto a la correspondiente $x$ 's son cero". ¿Cómo dirías eso?
Quizás podrías dividirlo: $\quad S = \{i \in 1..n : \frac{\partial f_i}{\partial x_i} = 0\}, \quad t^* = \underset{i \in S}{\max} \ t_i. \quad$ se asegura $\max$ se utiliza de forma tradicional. Pero mirando aquí , parece que hay algunas notaciones diferentes que podría usar dependiendo del dominio...
No estoy seguro de entender lo que quieres decir con "generador". Ambos parecen "filtrar" sobre el dominio.

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