establecer relaciones (relación que es simétrica y transitiva pero no reflexiva)

Un conjunto no puede ser simétrico; una relación puede ser. (Por cierto, es posible que un conjunto sea "transitivo", pero eso no significa lo mismo que una relación transitiva : un conjunto transitivo es un conjunto$x$tal que si$z \in y$y$y \in x$, entonces$z \in x$.)

Una relación en un conjunto no necesita involucrar a todos los miembros del conjunto. Por ejemplo, la relación de$\mathbb{N}$dado por "es un divisor primo de" no toca$1$en absoluto:$1$no está relacionado con nada y nada está relacionado con eso. En tu ejemplo,$6$no está relacionado con nada por$R$, y nada tiene que ver con$6$por$R$.

"Simétrico" solo significa que si $a \sim b$, entonces $b \sim a$. Tenga en cuenta que no nos dice acerca de los elementos de$A$no hemos visto antes: del mero conocimiento de que$4 \sim 5$, no podemos usar la simetría para deducir que algo está relacionado con$6$. Del mismo modo transitividad.

Def. : permitir$A,R$conjuntos, definimos

$$\operatorname{dom}(R):=\{x| \exists y : (x,y) \in R\} \\ \operatorname{cod}(R):=\{x| \exists y :(y,x)\in R\} \\ \operatorname{field}(R):=\operatorname{dom}(R)\cup \operatorname{cod}(R) \\ R \text{ is reflexive in }A \text{ if } \,\forall x \in A:(x,x)\in R \\ R \text{ is symmetric in }A \text{ if } \,\forall x,y \in A:(x,y)\in R \to (y,x)\in R \\ R \text{ is transitive in }A \text{ if } \,\forall x,y,z\in A:(x,y)\in R \wedge (y,z)\in R \to (x,z)\in R \\ R \text{ is reflexive} \text{ if } \,R \text{ is reflexive in}\operatorname{field}(R) \\ R \text{ is symmetric} \text{ if } \,R \text{ is symmetric in}\operatorname{field}(R)\\ R \text{ is transitive } \text{if } \,R \text{ is transitive in}\operatorname{field}(R)$$

Ahora tenemos$A:=\{4,5,6\}$y$R:=\{(4,4),(5,5),(4,5),(5,4)\}$, por lo tanto:

• $R$no es reflexivo en$A$porque$(6,6) \notin R$
• $R$es simétrico en$A$
• $R$es transitivo en$A$

([$R$es simétrico en$A$ $\wedge$ $R$es transitivo en$A$ $\to$ $R$es reflexivo en$A$] es generalmente falso, y tienes un ejemplo)

Pero:

• $\operatorname{dom}(R)= \operatorname{cod}(R)= \operatorname{field}(R)=\{4,5\}$
• $R$es reflexivo (en$\operatorname{field}(R)$)
• $R$es simétrica (en$\operatorname{field}(R)$)
• $R$es transitivo (en$\operatorname{field}(R)$)

([$R$es simétrico$\wedge$ $R$es transitivo$\to$ $R$es reflexivo] es verdadero, pero lo contrario generalmente es falso, un ejemplo$R^´:=\{(1,1),(0,1),(0,0)\}$)

Por qué$R$es simétrica y transitiva en$A$? Por ejemplo, sea$4,6 \in A$y lo demuestro$(4,6) \in R \to (6,4) \in R$y$(4,6) \in R \wedge (6,4) \in R \to (4,4)$son verdaderas, pero es vacuamente simétrica y transitiva por definición de "$\to$" (ver ej.1 , ej.2 ), similar a$(5,6)$,$(6,5)$...