Esta pregunta tiene muchas partes, pero trataré de abordarlas todas. Una pregunta que haces es por qué el kernel tiene dimensiones de$\text{length}^{-d}$. Otra pregunta que hizo es cómo se puede interpretar el núcleo como una amplitud de probabilidad. Lo tercero que pediste es una interpretación física del prefactor en el núcleo. Comenzaré con una revisión de dónde proviene el kernel.

Revisión del núcleo

Como ejemplo de un juguete, consideremos una pieza de metal que tiene un perfil de temperatura$\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}T_0(\bx)$en función de la posición$\bx$en el tiempo cero. La temperatura en momentos posteriores$t$está descrita por la ecuación

Dada esta ecuación, la temperatura en un punto$\newcommand{\by}{\mathbf{y}}\by$En el momento$t$es dado por

Hemos definido el kernel$K(\by,\bx;t)$ser la función$\frac{1}{(4 \pi k t)^{d/2}} \exp \left(\frac{|\bx -\by|^2}{4kt}\right)$. Fíjate que desde$k$tiene dimensiones de$\text{length}^2/\text{time}$, la función$K$tiene dimensiones de$\text{length}^{-d}$. Es bueno que el núcleo tenga estas dimensiones, porque mirando la ecuación$T(\by,t)=\int K(\by,\bx;t)T(\bx)d\bx,$Si el$T$en el lado derecho es tener las mismas unidades que el$T$desde el lado izquierdo, las dimensiones de$K$salir a cancelar el$d$potencias de longitud que resultan de hacer la integral. Eso es,$K$debe tener unidades de$\text{length}^{-d}$. En general, independientemente de las dimensiones de$T$son, si el kernel$K$se está integrando en el espacio, entonces debe tener dimensiones de$\text{length}^{-d}$. Ahora debería ser obvio por qué el kernel en su caso tiene dimensiones de$\text{length}^{-d}$.

¿Por qué el núcleo tiene dimensiones de$\text{length}^{-d}$

Si$\psi_0(\bx)$es una amplitud de probabilidad en$t=0$, con unidades de$\text{length}^{-d/2}$, y$\psi_t(\by)$es una amplitud de probabilidad en el tiempo$t$, teniendo también unidades de$\text{length}^{-d/2}$, y si los dos están relacionados por$\psi_t(\by)=\int K(\by,\bx;t)\psi_0(\bx)d\bx,$entonces$K$debe tener unidades de$\text{length}^{-d}$para que las dimensiones funcionen.

Interpretando el propio núcleo como una solución

A continuación, abordaré cómo el kernel en sí puede verse como una solución. Esto parece contrario a la intuición en este punto porque las funciones de onda deben tener dimensiones de$\text{length}^{-d/2}$, pero vimos que el núcleo tiene dimensiones de$\text{length}^{-d}$. Volvamos al ejemplo de la ecuación del calor. Consideremos un perfil de temperatura inicial$T_0(\bx)$que es solo distinto de cero en una pequeña región de volumen$V$. si el volumen$V$se hace cada vez más pequeño, entonces la temperatura será cero en todas partes en momentos posteriores porque la influencia de la región más pequeña seguirá siendo cero. A menos, es decir, si la temperatura dentro de esa región aumenta cada vez más a medida que la región se vuelve más pequeña. La función límite, una función que es distinta de cero solo en una región infinitamente pequeña, pero que tiene un valor infinito en esa pequeña región, se llama función delta. Si elegimos nuestra temperatura inicial$T_0(\bx)$ser una de estas funciones delta, con la región infinitamente pequeña centrada en$\mathbf{0}$, entonces la temperatura$T(\by,t)$a la vez$t$más tarde está dada por$\int K(\by,\bx;t)\delta(\bx)d\bx$, que es igual a$K(\by,\mathbf{0};t)$.

Hay un problema con lo que dije arriba. Usamos una función delta como nuestro$T_0$, pero una función delta tiene dimensiones de volumen inverso, mientras que nuestro perfil de temperatura inicial debería tener dimensiones de temperatura. Para obtener un perfil de temperatura inicial verdadero, debemos multiplicar la función delta por una constante con las unidades apropiadas (volumen por temperatura). La solución para la temperatura en un momento posterior no sería solo$K$, pero$K$veces esta misma constante. Multiplicar por la constante dimensional cambia las unidades, pero no cambia el perfil espacial de la solución, así que mientras$K$no tiene las unidades correctas para ser la solución, tiene el mismo perfil espacial de la solución para un perfil de temperatura inicial altamente concentrado.

Veamos cómo funciona esto con la mecánica cuántica. En este caso, una función delta representa la función de onda de una partícula con posición definida. Sin embargo, una función delta tiene unidades de volumen inverso, mientras que una función de onda debe tener dimensiones de raíz cuadrada de volumen inverso. En analogía con el ejemplo de la temperatura, la función delta debe multiplicarse por una constante que tenga dimensiones de la raíz cuadrada del volumen para dar las dimensiones apropiadas para una función de onda. En consecuencia, el kernel debe multiplicarse por una constante de unidades de raíz cuadrada de volumen. Dado que el núcleo tiene unidades de volumen inverso, esta multiplicación da las unidades apropiadas de raíz cuadrada inversa de volumen. Sin embargo, el perfil espacial de la función de onda es el mismo ya sea que incluya o no esta constante. Creo que esto explica tu segunda pregunta.

Interpretación de prefactor

La tercera cosa sobre la que preguntaste es el significado del prefactor, que va como$1/\sqrt{t}$. Dado que el estado inicial es una función delta, el impulso es completamente indeterminado. Es decir, puedes pensar en el estado inicial como una superposición de todos los momentos. A medida que el estado evoluciona desde el valor inicial, puede pensar que la función de onda es una superposición cuántica de la partícula que se aleja del origen a cada velocidad constante. Entonces la función de onda representa una expansión unifrom. Si tiene una expansión uniforme de una cantidad fija de masa, espera que la densidad sea inversamente proporcional al tiempo. Dado que la densidad es inversamente proporcional al tiempo, la función de onda debe ser inversamente proporcional a la raíz cuadrada del tiempo.

Esta es una consecuencia de$K(a,b)=\langle x_a,t_a|x_b,t_b\rangle$, que usted cita, y el requisito$\displaystyle \int\!\text{d}x\,|x,t\rangle\langle x,t|=1$(que se generaliza a$\displaystyle \int\!\text{d}^dx\,|\vec x,t\rangle\langle\vec x,t|=1$en$d$dimensiones espaciales). En principio, podría etiquetar los estados por algún "factor de escala" adimensional, pero este no es el camino que sigue la mayoría de los físicos.

El punto principal es (como menciona la Ref. 1 en el Problema 3.1) que la distribución de probabilidad (procedente de la integral de trayectoria) es solo relativa, es decir, su normalización no es física en un espacio de posición ilimitado.$\mathbb{R}^d$. Consulte también esta y estas publicaciones y enlaces relacionados con Phys.SE.

Referencias:

1. RP Feynman y AR Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, 1965, Problema 3.1.