¿No se pueden evitar las probabilidades negativas de la ecuación de Klein-Gordon?

Me encontré con estas notas de Dyson sobre la mecánica cuántica relativista. Allí en la pág. 3, menciona que el problema con la ecuación de Klein-Gordon es que la única forma de relacionar ψ con una densidad de probabilidad (que tiene una ecuación de continuidad) es definir

ρ = yo 2 metro ( ψ ∗ ∂ ψ ∂ t − ψ ∂ ψ ∗ ∂ t )
con la ecuación de continuidad
∇ ⋅ j → + ∂ ρ ∂ t = 0
dónde
j → = 1 2 metro yo ( ψ ∗ ∇ ψ − ψ ∇ ψ ∗ ) .
Él dice que el problema con tal densidad de probabilidad es que dado que la ecuación de Klein-Gordon es una ecuación de segundo orden, tanto ψ y ∂ ψ ∂ t constituyen la condición inicial y, por lo tanto, son arbitrarios, lo que lleva a las inevitables densidades de probabilidad negativas.

Pero, ¿no puede pensarse que el requisito de una densidad de probabilidad positiva es una restricción de las propias condiciones iniciales? Al igual que en la relatividad especial, la velocidad de una partícula es parte de la condición inicial, pero la teoría restringe el tipo de condiciones iniciales que se pueden tener. De manera similar, ¿no podemos restringir la forma de la condición inicial para asegurar la naturaleza no negativa de la densidad de probabilidad?

¿Tiene alguna razón para creer que la condición "no hay probabilidades negativas en la condición inicial" se conserva por la evolución del tiempo?
Está bien, no lo pensé. ¿Debería ser suficiente tener un conjunto de condiciones iniciales sin densidades negativas que preserven el carácter no negativo a través de la evolución temporal? ¿O todas las condiciones iniciales que tienen densidades no negativas deberían preservar el carácter no negativo de las densidades a través de la evolución del tiempo?

Respuestas (1)

trabajaré en el + − − − convención entonces k ⋅ X − k 0 t = − k ⋅ X . deberías encontrar eso ψ = Exp ⁡ ∓ i k X obtiene j m = ± metro − 1 k m . Conjugación compleja de ψ todavía da una solución para el KGE (el TDSE no funciona así) y cambia los signos de energía y probabilidad. El problema de tratar de eliminar mágicamente la mitad de las soluciones es que rompe la invariancia bajo la inversión del tiempo. Esto está relacionado con el hecho de que mi 2 = pags 2 + metro 2 es invariante bajo mi → − mi .

La solución general se puede escribir como una transformada de Fourier. Si generaliza una combinación lineal de soluciones de ondas planas con coeficientes constantes de modo que, después de la cuantificación, estos coeficientes tengan valores de operador, encontrará otra dificultad: ψ ^ no será hermitiano. Por el contrario, si mantiene todas las soluciones, el integrando tiene dos términos: uno con operadores de aniquilación y el otro con operadores de creación. Si se elimina cualquiera de los términos, ψ aniquilará el sujetador de vacío pero no el ket de vacío o viceversa, según el término retenido.

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