¿Distribución de probabilidad normalizada de la amplitud de dispersión de Coulomb/Rutherford?

Mi pregunta parece elemental, pero he estado bastante molesto tratando de responderla con precisión. ¿Se puede usar la amplitud de dispersión de Rutherford/Coulomb para obtener una distribución espacio-momento normalizada y finita para el estado de partícula saliente?

Específicamente, considere un paquete de onda entrante$\psi_{in}(\vec{k})$que es, digamos, una Gaussiana en impulso$\vec{k}$centrado alrededor de algunos$\vec{k}_0$. Digamos que esta es una partícula cargada y se dispersa en un potencial clásico de Coulomb$V(r) = \alpha/r$. Ingenuamente, uno escribiría la función de onda saliente como algo así como

$\psi(\vec{k'}) = \psi_{in}(\vec{k'}) + i \int d^3\vec{k} \ f(\vec{k'},\vec{k}) \delta(E_{k'}-E_k) \psi(\vec{k})$

donde la amplitud depende del ángulo$\theta$entre$\vec{k}$y$\vec{k'}$como

$f(\vec{k'},\vec{k}) \sim 1/(1-\cos \theta)$.

Como es bien sabido, esta cosa diverge como$\vec{k} \to \vec{k'}$, por lo que la integral explota allí, por lo que la sección transversal total es divergente, y así sucesivamente. Está bien. Pero uno podría pedir, por ejemplo. la distribución de probabilidad

$dP(\vec{k'}) = |\psi(\vec{k'})|^2 d^3\vec{k'} \ \ \ \ (*)$

pero parece ser singular en cada$\vec{k'}$eso está en el apoyo de la función de onda entrante, ya que en cada uno de esos valores la parte delantera de la amplitud diverge.

¿Hay alguna manera de evitar esto y producir una distribución finita? Lo que es particularmente confuso es que uno puede invocar el teorema óptico y demostrar que, formalmente,$(*)$integra sobre todo$\vec{k'}$a la unidad, sino en cualquier región finita de$\vec{k'}$-espacio, ¡la integral parece divergente!

(Como caso especial, considere que el paquete entrante es una función delta$\psi_{in}(\vec{k}) = \delta(\vec{k} - \vec{k_0})$. Luego, la probabilidad de dispersarse en cualquier ángulo sólido que no incluya la dirección de avance$\theta = 0$es manifiestamente finito, y puede usar el teorema óptico para escribir la probabilidad de dispersión en un pequeño ángulo sólido$\delta \Omega$que incluye la dirección de avance como$P = 1 - \int_{S^2 / \delta \Omega} d\Omega \frac{d \sigma}{d \Omega}$, es decir, como 1 - (la probabilidad de dispersarse en cualquier otro ángulo). Pero si, en cambio, consideramos un paquete de ondas entrante que tiene un soporte finito, este tipo de truco no parece funcionar...)