Inexistencia de una probabilidad para la ecuación de Klein-Gordon

David Bohm en su maravillosa monografía Teoría cuántica , en la Sección 4.6 analiza las dificultades que uno encuentra al tratar de desarrollar una mecánica cuántica relativista. parte de la relación

ℏ 2 ω 2 = metro 2 C 4 + ℏ 2 k 2 C 4
(que es equivalente a la relación clásica mi 2 = metro 2 C 4 + pag 2 C 2 ), de donde se deriva (procediendo como en la Sección 3.19) la ecuación de segundo orden ( ecuación de Klein-Gordon ):
∂ 2 ψ ∂ t 2 = C 2 Δ ψ − metro 2 C 4 ℏ 2 ψ .
Luego trata de definir una función de probabilidad PAG implicando ψ y sus derivados parciales ∂ ψ ∂ t , ∂ ψ ∂ X i :
PAG ( X , t ) = ℏ 2 | ∂ ψ ∂ t | 2 + ℏ 2 C 2 | ∇ ψ | 2 + metro 2 C 4 | ψ | 2 ,
que se puede ver que tiene una integral ∫ PAG ( X , t ) d X que se conserva en el tiempo. De todos modos, Bohm dice que esta función no da lugar a una probabilidad físicamente aceptable, ya que si elegimos por ejemplo ψ = Exp ⁡ i ( mi t − pag ⋅ X ℏ ) , obtenemos
PAG ( X , t ) = mi 2 + pag 2 C 2 + metro 2 C 4 = 2 mi 2 ,
de modo que PAG se comporta como el componente (4,4) de un tensor de rango 2. De esto concluye que bajo una transformación de Lorentz la integral ∫ PAG ( X , t ) d X se transforma como una energía, es decir, como el cuarto componente de un vector de cuatro, por lo que no es invariante (para una prueba de la última declaración, consulte mi publicación Tensors and the Klein-Gordon Equation ).

Bohm luego afirma sin prueba que no es posible definir ninguna función de densidad de probabilidad (razonable), utilizando la solución ψ de la ecuación de onda anterior y sus derivadas parciales, que es invariante bajo la transformación de Lorentz.

¿Alguien sabe alguna razón de peso por la que esto es cierto?

Casi todas las notas de lectura introductorias sobre QFT explicarán los problemas involucrados en el uso de esta ecuación. Si busca en Google a Michael Luke, David Tong o M. Srednicki, todas las versiones en PDF de sus conferencias cubren esto en los primeros tres capítulos.

Respuestas (1)

He descubierto que Kazemi, Hashamipour y Barati en su trabajo Densidad de probabilidad de partículas relativistas sin espín lograron encontrar en el caso unidimensional una función de probabilidad físicamente aceptable para la ecuación de Klein-Gordon. Esta función de probabilidad satisface todas las propiedades de una función de probabilidad significativa y, en particular, su integral es invariante de Lorentz.

De todos modos, esta función de probabilidad no refuta la afirmación de Bohm, ya que PAG ( X , t ) no depende de ψ ( X , t ) y los valores de las derivadas parciales de ψ calculado en ( X , t ) , pero es un funcional de ψ , es decir depende de toda la función ψ . Entonces, esta función de probabilidad no es un contraejemplo de la declaración de Bohm.

Finalmente, encontré un trabajo muy interesante Unicidad de corrientes conservadas en mecánica cuántica de Peter Holland, quien muestra que una corriente de cuatro vectores conservada esencialmente única j existe para la ecuación de Klein-Gordon, que tiene componentes covariantes

j m = i ℏ 2 metro ( ψ ∗ ∂ m ψ − ψ ∂ m ψ ∗ ) .

Esta corriente corresponde a la normalmente definida por la ecuación de Klein-Gordon. Su componente de densidad es PAG = i ℏ 2 metro ( ψ ∗ ∂ ψ ∂ t − ψ ∂ ψ ∗ ∂ t ) , vemos eso PAG no satisface la propiedad PAG ≥ 0 de modo que sigue la afirmación de Bohm.

De todos modos, debemos señalar que Holland asume en su prueba que eso j depende solo de ψ y sus primeras derivadas, que es una suposición no hecha explícitamente por Bohm, aunque perfectamente plausible (ver el argumento dado por Holland en su trabajo para justificar el requisito de que las corrientes conservadas deben depender únicamente de las 'variables de estado').

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