Mecánica Cuántica: ¿Puede la probabilidad de encontrar una partícula en todo el espacio ser menor o mayor en determinados momentos?

En el libro Introducción a la Mecánica Cuántica (de David Griffith) hay un Ejemplo 2.1 :

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Supongamos que una partícula comienza en una combinación lineal de solo dos estados estacionarios:

$$\Psi(x,0)~=~c_1\Psi_1(x)+c_2\Psi_2(x)$$

(Dos mantenlo simple, asumiré que las constantes$c_n$y los estados$\Psi_n$son reales). ¿Cuál es la función de onda$\Psi(x,t)$en ocasiones posteriores? Encuentre la densidad de probabilidad y describa su movimiento.

Solución: La primera parte es fácil:

$$\Psi(x,t)~=~c_1\psi_1(x)e^{-iE_1/\hbar}\,+\,c_2\psi_2(x)e^{-iE_2/\hbar}$$

dónde$E_1$y$E_2$son las energías asociadas a$\psi_1$y$\psi_2$. Resulta que:

$$|\Psi(x,t)|^2~=~ (c_1\psi_1e^{iE_1/\hbar}+c_2\psi_2e^{iE_2/\hbar})(c_1\psi_1e^{-iE_1/\hbar}+c_2\psi_2e^{-iE_2/\hbar}) \\=~c_1^2\psi_1^2+c_2^2\psi_2^2+2c_1c_2\psi_1\psi_2cos[(E_2-E_1)t/\hbar]$$

Evidentemente, la densidad de probabilidad oscila sinusoidalmente. a una frecuencia angular$(E_2-E_1)/\hbar$; esto ciertamente no es un estado estacionario. Pero observe que se necesitó una combinación lineal de estados (con diferentes energías) para producir movimiento.

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Mi problema es: la función coseno es igual a cero en ciertos momentos. Entonces, cuando normalizo la función en este momento:

$$\int_ {-\infty}^\infty c_1^2\psi_1^2+c_2^2\psi_2^2\,\text{d}x~=~1$$

Por otro lado en ciertos momentos la función coseno es igual a uno. y luego la integral

$$\int_ {-\infty}^\infty c_1^2\psi_1^2+c_2^2\psi_2^2\,\text{d}x~+~\int_ {-\infty}^\infty2c_1c_2\psi_1\psi_2\,\text{d}x$$ debería ser mayor que 1. Eso parece imposible, entonces, ¿dónde está mi error?

Lo siento cuando la pregunta no está clara en algunas partes. No estoy acostumbrado a hablar inglés en temas de ciencia.