No localidad del espacio - QFT (libro de Srednicki)

Si considera un operador diferencial estándar$B$trabajando en funciones definidas en$\mathbb R^n$, como$\partial/\partial x_i$o un polinomio de derivadas parciales, y elija una función suficientemente suave$f$desapareciendo en un barrio$\Omega$, eso lo ves tambien$Bf$se desvanece en el mismo. Esta es la noción relevante de localidad para los operadores.

En el RHS de la ecuación que escribiste aparece un operador que no cumple con la localidad en el sentido que dije. Esa ecuación es, de hecho, la ecuación satisfecha por las soluciones de energía positiva de la ecuación de Klein-Gordon.

El operador en el RHS no se puede definir mediante la expansión formal de Taylor (funciona solo formalmente), pero uno tiene que usar la teoría espectral. En el caso considerado equivale a traducir esa ecuación en transformada de Fourier.

La no localidad surge aquí debido a una propiedad conocida del operador.$A:= \sqrt{-\Delta + aI}$y, de manera más general, para$(\Delta + aI)^\nu$con$\nu \not \in \mathbb Z$. Esta propiedad se denomina anti localidad (IE Segal, RW Goodman, J. Math. Mech. 14 (1965) 629) y está relacionada con la famosa propiedad de Reeh y Schlieder en QFT.

Anti localidad significa que si ambos$f$y$Af$desaparecer en una región delimitada$\Omega \subset \mathbb R^3$entonces$f$es en todas partes cero.

Si$f$tiene soporte incluido en un conjunto abierto acotado$\Omega$, entonces, de manera notable y muy diferente de lo que sucede con los operadores diferenciales estándar ,$Af$ no desaparece idénticamente afuera$\Omega$de lo contrario$f$sería la función cero en todas partes.