Energía cinética de un objeto que gira sobre un eje que no pasa por el centro de masa

Estoy un poco confundido acerca de la energía cinética de un objeto giratorio cuando el eje de rotación no pasa por el centro de masa. Por ejemplo, considere un aro delgado de masa$m$y radio$R$que cuelga de un pivote y es libre de girar alrededor de ese pivote. Si el aro estuviera girando alrededor de su centro de masa, la energía cinética sería simplemente

$$K = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2} m R^2 \omega^2,$$ porque el centro de masa del aro no se mueve (es decir, la energía cinética de traslación es cero). Sin embargo, cuando el aro gira alrededor del pivote, el centro de masa ya no está estacionario. ¿Se compensa esto con el cambio en el momento de inercia, o es necesario agregar esta pieza de traslación? En otras palabras, ¿tenemos $$K_{tot}= K_{trans}+K_{rot}=\frac{1}{2} m v^2+\frac{1}{2}I\omega^2=\frac{1}{2}m(R\omega)^2+\frac{1}{2}(2mR^2)\omega^2 = \frac{3}{2} m R^2 \omega^2$$ o $$K_{tot}= K_{trans}+K_{rot}=0+\frac{1}{2}I\omega^2=\frac{1}{2}(2mR^2)\omega^2 = m R^2 \omega^2$$ Estoy bastante seguro de que la última es la respuesta correcta, pero solo quería asegurarme de que estoy pensando en esto correctamente.