Rotación de un cuerpo rígido - Péndulo Invertido Simple

Question

Rotación de un cuerpo rígido - Péndulo Invertido Simple

esfuerzo de torsión
Física
momento de inercia
mecanica-newtoniana
dinámica-rotacional

enzo charles

Estaba pensando en un péndulo invertido realmente simple de longitud $L$ , masa $M$ e hice este diagrama de cuerpo libre:

Decidí aplicar la segunda ley de Newton relativa al origen (pivote) y al centroide (ubicación de la fuerza $F_g$ ), dando las ecuaciones (1) y (2) respectivamente:

\begin{matrix} (1) & \sum τ_{o} = - F_{gramo} \cdot \frac{L}{2} pecado (θ) = I_{0} \ddot{θ} \end{matrix}

$\sum \tau_{o}=-F_{g}\cdot \frac{L}{2}\sin\left( \theta \right)=I_0 \ddot{\theta} \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & \sum τ_{C} = H \cdot \frac{L}{2} porque (θ) - V \cdot \frac{L}{2} pecado (θ) = I_{C} \ddot{θ} \end{matrix}

$\sum \tau_{c}=H\cdot \frac{L}{2}\cos\left (\theta\right)-V\cdot \frac{L}{2}\sin\left(\theta \right)=I_{c}\ddot{\theta} \tag{2}$

Si considero el péndulo como una vara, $I_c=ML^2/12$ y $I_0=ML^2/3$ . ¿Son válidos ambos enfoques? ¿Dan la misma respuesta del sistema?

nasu

¿Cuál es el significado de los símbolos que usas aquí? La mayoría son indefinidos.

enzo charles

V y H son las fuerzas de reacción verticales y horizontales en el pivote, Fg es el peso de la barra, theta es el ángulo entre la barra y el eje vertical, Ic e Io son los momentos de inercia con respecto al origen y centroide

nasu

Entonces, ¿el pivote está en el extremo inferior de la barra?

Gert

¿Por qué no simplemente desarrolla las ecuaciones (resuelve las EDO)?

enzo charles

Sí, es un péndulo invertido. Intentaré editar el mensaje principal. @Gert Lo haré, estoy casi seguro de que la ecuación (1) dará una respuesta sensata, pero me pregunto acerca de la ecuación (2) desde un punto de vista conceptual

Gert

Estoy bastante seguro (observando) que ambas ecuaciones darán el mismo resultado si usa la aproximación de ángulo pequeño

\sin θ \approx θ

$\sin\theta\approx \theta$

jose h

Utilice Mathjax para ingresar expresiones matemáticas en Physics SE, ya que es el estándar del sitio. Las imágenes de texto o ecuaciones se desaconsejan encarecidamente y pueden dar lugar a votos negativos.

enzo charles

Entendido. ¡Lo haré en el futuro!

Tieu Binh

He respondido una pregunta similar aquí physics.stackexchange.com/a/623480/217289 . Lo mejor es calcular con el centroide, calcular la rotación sobre otro punto que no sea el centroide no siempre es cierto.

enzo charles

Gracias, Tieu. Entonces, ¿la ecuación (2) sería más confiable en general? Eso me sorprende. Encuentro un poco contrario a la intuición calcular la rotación en relación con el centroide cuando veo que el péndulo se balancea alrededor del pivote. En este caso particular, ¿es incorrecta la ecuación (1)?

Respuestas (1)

Rotación de un cuerpo rígido - Péndulo Invertido Simple

¿Cuál es el significado de los símbolos que usas aquí? La mayoría son indefinidos.
V y H son las fuerzas de reacción verticales y horizontales en el pivote, Fg es el peso de la barra, theta es el ángulo entre la barra y el eje vertical, Ic e Io son los momentos de inercia con respecto al origen y centroide
Entonces, ¿el pivote está en el extremo inferior de la barra?
¿Por qué no simplemente desarrolla las ecuaciones (resuelve las EDO)?
Sí, es un péndulo invertido. Intentaré editar el mensaje principal. @Gert Lo haré, estoy casi seguro de que la ecuación (1) dará una respuesta sensata, pero me pregunto acerca de la ecuación (2) desde un punto de vista conceptual
Estoy bastante seguro (observando) que ambas ecuaciones darán el mismo resultado si usa la aproximación de ángulo pequeño $\sin\theta\approx \theta$
Utilice Mathjax para ingresar expresiones matemáticas en Physics SE, ya que es el estándar del sitio. Las imágenes de texto o ecuaciones se desaconsejan encarecidamente y pueden dar lugar a votos negativos.
He respondido una pregunta similar aquí physics.stackexchange.com/a/623480/217289 . Lo mejor es calcular con el centroide, calcular la rotación sobre otro punto que no sea el centroide no siempre es cierto.
Gracias, Tieu. Entonces, ¿la ecuación (2) sería más confiable en general? Eso me sorprende. Encuentro un poco contrario a la intuición calcular la rotación en relación con el centroide cuando veo que el péndulo se balancea alrededor del pivote. En este caso particular, ¿es incorrecta la ecuación (1)?

Futurólogo · Answer 1

No, los dos enfoques, tal como los ha presentado, no serían equivalentes. El primero es exacto. El segundo no lo es. Te estás perdiendo las ecuaciones de Newton para el movimiento del centro de masa de la barra. Con su ayuda serías capaz de expresar los componentes $H$ y $V$ de la fuerza de reacción y reemplácelas en la ecuación del torque para llegar a una ecuación equivalente a la del primer enfoque.

\begin{aligned} X_{C} \hat{i} + y_{C} \hat{j} = \frac{L}{2} pecado (θ) \hat{i} + \frac{L}{2} porque (θ) \hat{j} \end{aligned}

$\begin{align} & x_c \,\hat{i} \, + \, y_c\,\hat{j} \, = \, \frac{L}{2}\,\sin(\theta) \, \hat{i} \, +\, \frac{L}{2}\,\cos(\theta) \, \hat{j} \end{align}$

El conjunto completo de ecuaciones de movimiento son

\begin{aligned} METRO \frac{d^{2}}{d t^{2}} (X_{C} \hat{i} + y_{C} \hat{j}) = H \hat{i} + V \hat{j} - METRO gramo \hat{j} \\ I_{C} \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} \hat{k} = (- X_{C} \hat{i} - y_{C} \hat{j}) \times (H \hat{i} + V \hat{j}) \end{aligned}

$\begin{align} & M\frac{d^2}{dt^2} \big(\, x_c \,\hat{i} \, + \, y_c\,\hat{j} \,\big) \,=\, H \, \hat{i} \, + \,V \, \hat{j} \,- \,Mg\,\hat{j}\\ &\\ &I_c\frac{d^2\theta}{dt^2} \,\hat{k} \, = \, \big(\, - x_c \,\hat{i} \, - \, y_c\,\hat{j} \,\big)\times \big(\,H \, \hat{i} \, + \,V \, \hat{j}\,\big) \end{align}$

Expresiones de enchufe

\begin{aligned} \frac{METRO L}{2} \frac{d^{2}}{d t^{2}} (pecado (θ) \hat{i} + porque (θ) \hat{j}) = H \hat{i} + (V - METRO gramo) \hat{j} \\ I_{C} \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} \hat{k} = - \frac{L}{2} (pecado (θ) \hat{i} + porque (θ) \hat{j}) \times (H \hat{i} + V \hat{j}) \end{aligned}

$\begin{align} & \frac{ML}{2}\,\frac{d^2}{dt^2} \big(\, \sin(\theta) \, \hat{i} \, +\,\cos(\theta) \, \hat{j} \,\big) \,=\, H \, \hat{i} \, + \,\big(\,V \,- \,Mg\,\big)\hat{j}\\ &\\ &I_c\frac{d^2\theta}{dt^2} \,\hat{k} \, = \, -\,\frac{L}{2}\big(\, \sin(\theta) \, \hat{i} \, +\,\cos(\theta) \, \hat{j} \,\big)\times \big(\,H \, \hat{i} \, + \,V \, \hat{j}\,\big) \end{align}$

Realiza la mayor parte de las operaciones.

\begin{aligned} \frac{METRO L}{2} & [- pecado (θ) \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} - porque (θ) (\frac{d θ}{d t})^{2}] \hat{i} \\ + \frac{METRO L}{2} & [porque (θ) \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} - pecado (θ) (\frac{d θ}{d t})^{2}] \hat{j} = H \hat{i} + (V - METRO gramo) \hat{j} \\ I_{C} \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} \hat{k} = \frac{L}{2} (H porque (θ) - V pecado (θ)) \hat{k} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{ML}{2}\, &\Big[\,-\sin(\theta)\frac{d^2\theta}{dt^2} - \cos(\theta)\Big(\frac{d\theta}{dt}\Big)^2\,\Big] \hat{i} \, \\ +\, \frac{ML}{2}\,&\Big[\,\,\,\,\,\,\,\cos(\theta)\frac{d^2\theta}{dt^2} - \sin(\theta)\Big(\frac{d\theta}{dt}\Big)^2\,\Big] \, \hat{j} \,=\, H \, \hat{i} \, + \,\big(\,V \,- \,Mg\,\big)\hat{j}\\ &\\ &I_c\frac{d^2\theta}{dt^2} \,\hat{k} \, = \, \frac{L}{2}\big(\, H\cos(\theta) - V\sin(\theta) \,\big) \hat{k} \end{align}$

Resuelva las componentes horizontal y vertical de la fuerza de reacción.

\begin{aligned} H = \frac{METRO L}{2} [- pecado (θ) \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} - porque (θ) (\frac{d θ}{d t})^{2}] \\ V = \frac{METRO L}{2} [porque (θ) \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} - pecado (θ) (\frac{d θ}{d t})^{2}] + METRO gramo \\ I_{C} \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} = \frac{L}{2} H porque (θ) - \frac{L}{2} V pecado (θ) \end{aligned}

$\begin{align} &H \, =\, \frac{ML}{2}\, \Big[\,-\sin(\theta)\frac{d^2\theta}{dt^2} - \cos(\theta)\Big(\frac{d\theta}{dt}\Big)^2\,\Big] \\ &V \, = \, \frac{ML}{2}\,\Big[\,\,\,\,\,\,\,\cos(\theta)\frac{d^2\theta}{dt^2} - \sin(\theta)\Big(\frac{d\theta}{dt}\Big)^2\,\Big] \, +\, Mg\\ &\\ &I_c\frac{d^2\theta}{dt^2} \, = \, \frac{L}{2}\, H\cos(\theta) - \frac{L}{2}\, V\sin(\theta) \end{align}$

y conéctelos en la tercera ecuación (torque), simplifique y aplique las identidades trigonométricas apropiadas. El resultado es

I_{C} \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} = - \frac{METRO L^{2}}{4} \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} - \frac{METRO gramo L}{2} pecado (θ)

$I_c\frac{d^2\theta}{dt^2} \, = \, -\,\frac{ML^2}{4}\,\frac{d^2\theta}{dt^2} \, -\, \frac{MgL}{2} \sin(\theta)$

o reexpresado

(I_{C} + \frac{METRO L^{2}}{4}) \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} = - \frac{METRO gramo L}{2} pecado (θ)

$\left(I_c\, + \,\frac{ML^2}{4}\right)\frac{d^2\theta}{dt^2} \, = \, -\, \frac{MgL}{2} \sin(\theta)$

dónde

I_{o} = I_{C} + \frac{METRO L^{2}}{4}

$I_o \, =\, I_c\, + \,\frac{ML^2}{4}$ lo cual está en línea con el teorema de los ejes paralelos.

Muchas gracias por la respuesta, Futurólogo. De hecho, cuando H y V se reemplazan en la ecuación (2), las fuerzas resultantes en el lado derecho y el momento de inercia en el lado izquierdo coinciden con la ecuación (1). Una vez más, ¡gracias por la excelente demostración!

Rotación de un cuerpo rígido - Péndulo Invertido Simple

enzo charles

nasu

enzo charles

nasu

Gert

enzo charles

Gert

jose h

enzo charles

Tieu Binh

enzo charles

Respuestas (1)

Futurólogo

enzo charles

¿No debería ser la relación entre el par y el momento de inercia y la aceleración angular τ=Iαsinθτ=Iαsin⁡θ\tau = I\alpha \sin\theta?

¿Cómo es posible calcular el momento de inercia?

Par en el eje y la rueda

¿Bajo qué condiciones se cumple la relación L⃗ =Iω⃗ L→=Iω→\vec{L} =I \vec{\omega}? [duplicar]

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