¿Cómo es posible calcular el momento de inercia?

Question

¿Cómo es posible calcular el momento de inercia?

Iter Ator

Me gustaría calcular la aceleración angular de un objeto sobre el que se aplica una fuerza. $F$ se aplica en el punto $P$ . La escena es 2D y el objeto complejo consta de muchos rectángulos alineados con el eje.

calculé el centro de masa $O$ con el promedio ponderado de los centroides de los rectángulos.

Después de eso, el vector de dirección $r$ es $P-O$ , y el par se puede calcular como: $\tau = r \times F$ , que en el caso 2D es: $r_x F_y - F_x r_y$

La aceleración angular se puede calcular como $\alpha = \frac{\tau}{I}$ dónde $I$ es el momento de inercia.

Aquí es donde estoy atascado. Tengo que calcular el momento de inercia de este objeto. Encontré una página con los momentos de área de objetos simples . Dice que para un rectángulo:

I_{X} = \frac{b h^{3}}{12}

$I_x = \frac{bh^3}{12}$

I_{y} = \frac{b^{3} h}{12}

$I_y = \frac{b^3h}{12}$

¿Por qué la inercia tiene un $x$ y $y$ ¿componente? Casi todos los rectángulos de mi objeto tienen un centroide diferente del origen. ¿Dónde se usarán las propiedades de posición y masa de los rectángulos al calcular el momento de inercia?

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Resolví el problema usando esta lista y el teorema del eje paralelo. El momento de inercia es:

I = \sum_{i \in rectángulos} \frac{{metro}_{i}}{12} (h_{i}^{2} + w_{i}^{2}) + {metro}_{i} (O_{X} - C_{i_{X}})^{2} + {metro}_{i} (O_{y} - C_{i_{y}})^{2}

$I = \sum_{i \ \in \text{ rectangles}} \frac{m_i}{12}(h_i^2 + w_i^2) + m_i (O_x - C_{i_x})^2 + m_i (O_y - C_{i_y})^2$

Dónde $C$ contiene los centroides, $w$ y $h$ los tamaños, y $m$ las masas de los rectángulos.

probablemente_alguien

Esos no son componentes del momento de inercia, porque el momento de inercia no es un vector, en realidad es en general un tensor. Esos son los momentos (escalares) de inercia cuando el rectángulo se gira alrededor del

x

$x$ y

y

$y$ ejes, respectivamente.

usuario197851

Esta página puede ser más útil si se desplaza un poco hacia abajo.

Iter Ator

@LonelyProf He encontrado el momento de inercia de la placa rectangular delgada, pero ¿cómo cambia eso si el centro del rectángulo no está en el centro de masa del objeto completo?

usuario197851

En esa página también hay un enlace al "teorema del eje paralelo". Deberías poder resolverlo a partir de eso.

Juan Alexiou

Esos momentos 2D de áreas no son momentos de inercia de masas (verifique las unidades). El MMOI para un rectángulo 2D es

I = \frac{metro}{12} (a^{2} + b^{2})

$I = \frac{m}{12} ( a^2+b^2)$

Iter Ator

Actualicé la pregunta con una solución. ¿Podría comprobarlo y, si me equivoco, darme pistas sobre cómo solucionarlo?

RW pájaro

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Respuestas (3)

¿Cómo es posible calcular el momento de inercia?

Esos no son componentes del momento de inercia, porque el momento de inercia no es un vector, en realidad es en general un tensor. Esos son los momentos (escalares) de inercia cuando el rectángulo se gira alrededor del $x$ y $y$ ejes, respectivamente.
Esta página puede ser más útil si se desplaza un poco hacia abajo.
@LonelyProf He encontrado el momento de inercia de la placa rectangular delgada, pero ¿cómo cambia eso si el centro del rectángulo no está en el centro de masa del objeto completo?
En esa página también hay un enlace al "teorema del eje paralelo". Deberías poder resolverlo a partir de eso.
Esos momentos 2D de áreas no son momentos de inercia de masas (verifique las unidades). El MMOI para un rectángulo 2D es $I = \frac{metro}{12} (a^{2} + b^{2})$ $I = \frac{m}{12} ( a^2+b^2)$
Actualicé la pregunta con una solución. ¿Podría comprobarlo y, si me equivoco, darme pistas sobre cómo solucionarlo?

Juan Alexiou · Answer 1

El momento de inercia de masa con respecto a z (fuera del plano) de un rectángulo 2D, medido en el centroide, es

I = \frac{metro}{12} (w^{2} + h^{2})

$I = \frac{m}{12} (w^2+h^2)$ dónde

w

$w$ es el ancho y

h

$h$ la altura.

Así que considere el caso general de una fuerza 2D con componentes $A_x$ y $A_y$ aplicado sobre un cuerpo, así como un torque $\tau_A$ en un punto A con coordenadas $x_A$ y $y_A$ .

Las ecuaciones de movimiento rastrean el movimiento del centro de masa con coordenadas $x_C$ y $y_C$ así como el ángulo de orientación $\theta$ .

\begin{aligned} A_{X} & = metro {\ddot{X}}_{C} \\ A_{y} & = metro {\ddot{y}}_{C} \\ τ_{A} - A_{X} (y_{A} - y_{C}) + A_{y} (X_{A} - X_{C}) & = I \ddot{θ} \end{aligned}

$\begin{aligned} A_x & = m \ddot{x}_C \\ A_y & = m \ddot{y}_C \\ \tau_A-A_x (y_A-y_C) + A_y ( x_A-x_C) & = I \ddot{\theta} \end{aligned}$

Ahora para responder a la pregunta más general, de cómo calcular MMOI para formas 2D.

Suponga que el sólido tiene un espesor uniforme $t$ en el plano, y definir un elemento de volumen pequeño $d V = t d A$ ${\rm d}V = t\, {\rm d}A$
Por lo tanto, la masa total se calcula a partir del volumen utilizando una densidad uniforme $\rho$ $metro = \int ρ d V$ $m = \int \rho\, {\rm d}V$
El centro de masa se calcula con una integral similar $(\begin{matrix} X_{C} \\ y_{C} \end{matrix}) = \frac{1}{metro} \int ρ (\begin{matrix} X \\ y \end{matrix}) d V$ $\pmatrix{x_C \\ y_C} = \frac{1}{m} \int \rho \pmatrix{x\\y} {\rm d}V$
Finalmente, el momento de inercia de la masa con respecto al centro de masa es $I = \int ρ (X^{2} + y^{2}) d V$ $I = \int \rho\, (x^2+y^2) {\rm d}V$

Puede usar lo anterior para calcular el MMOI de un rectángulo que se extiende $x = -\frac{w}{2} \ldots \frac{w}{2}$ y $y = -\frac{h}{2} \ldots \frac{h}{2}$ , con ${\rm d}A = {\rm d}x\, {\rm d}y$

Masa $metro = ρ \int_{- \frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} \int_{- \frac{w}{2}}^{\frac{w}{2}} t d X d y = ρ t w h$ $m = \rho \int \limits_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} \int \limits_{-\frac{w}{2}}^{\frac{w}{2}} t\,{\rm d}x\, {\rm d}y = \rho\, t\, w\, h$ $ρ = \frac{metro}{t w h}$ $\rho = \frac{m}{t\,w\,h}$
MMOI $I = ρ \int_{- \frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} \int_{- \frac{w}{2}}^{\frac{w}{2}} t (X^{2} + y^{2}) d X d y = ρ \frac{t w h (w^{2} + h^{2})}{12}$ $I = \rho \int \limits_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} \int \limits_{-\frac{w}{2}}^{\frac{w}{2}} t\,(x^2+y^2) {\rm d}x\, {\rm d}y = \rho \frac{t\,w\,h (w^2+h^2)}{12}$ $I = \frac{metro}{12} (w^{2} + h^{2})$ $I = \frac{m}{12} ( w^2+h^2 )$

Puede comenzar con el caso 3D como esta publicación y configurar $z=0$ para casos planos. Incluso el teorema del eje paralelo se aplica tanto en 2D como en 3D con este truco.

floris · Answer 2

El teorema del eje paralelo :
dado el momento de inercia $I_0$ de un objeto con masa $m$ con respecto a su centro de masa, entonces el momento de inercia con respecto a un eje paralelo que se desplaza una distancia (perpendicular) $r$ es $I_0 + mr^2$ .

Es posible que también necesite conocer el teorema del eje perpendicular : para una lámina delgada, el momento de inercia sobre un eje que pasa por el centro de masa, perpendicular a la lámina, es igual a la suma de los momentos de inercia sobre dos ejes perpendiculares en el avión. Entonces, si su rectángulo está centrado en el origen en el plano XY, entonces el momento de inercia sobre el eje Z se encuentra a partir de $I_Z = I_X + I_Y$

Esto debería permitirle descubrir cómo resolver su problema.

kamrán · Answer 3

Debe calcular el centro de masa de los componentes mediante la suma (m1 por dx 1 a m_n por dxn)/ (m1+.....+ M_n).

Entonces su inercia angular es I = suma (m * dx ^ 2 + m * dy ^ 2) + Suma del momento angular de inercia de cada parte individualmente. Por dx y dy nos referimos a la distancia entre el CG de cada componente y el CG de la forma final integrada.

Su par es Fp

P es su brazo de torsión, pero debe ajustarse para bew CG del sistema y F la fuerza.

Y tu aceleración angular, omega = I* par.

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¿No debería ser la relación entre el par y el momento de inercia y la aceleración angular τ=Iαsinθτ=Iαsin⁡θ\tau = I\alpha \sin\theta?

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