¿Cómo interactúa el suelo con una caja que gira alrededor de su esquina?

Tengo algunas preguntas sobre cómo las fuerzas F , fuerza de fricción F F r i C t i o norte y normales norte interactúe para que el cuadro de abajo gire (en el sentido de las agujas del reloj) sobre la esquina roja, sin deslizarse. La fuerza F actúa horizontalmente sobre el centro de gravedad (CG) de la caja:

cubo

Mi intento de entender este escenario:

Debe haber un par en el sentido de las agujas del reloj distinto de cero para que la caja gire. Y quiero analizar la rotación sobre el CG, no sobre la esquina roja.

Hay dos fuerzas que pueden afectar el torque alrededor del CG: F F r i C t i o norte y fuerza normal norte .

Sea el momento de torsión neto sobre el CG:

τ norte mi t = τ F r i C t i o norte + τ norte

Mi primera pregunta : ¿Debo esperar que la caja comience a girar (en el sentido de las agujas del reloj) solo cuando τ norte mi t es distinto de cero y en el sentido de las agujas del reloj?

Mi análisis adicional:

Cuando la fricción F F r i C t i o norte actúa en la esquina roja, contribuye a la aceleración lineal neta de CG, pero, cuando se suma a F , produce una aceleración lineal neta cero. Eso significa que el CG permanecería estático.

cuando par τ norte mi t es en el sentido de las manecillas del reloj, la esquina roja adquiere una aceleración angular alrededor del centro de gravedad. Haciendo caso omiso del suelo por un momento, la posición y orientación de la caja en un instante siguiente sería el cubo verde de abajo, a la izquierda. La flecha verde denota el desplazamiento infinitesimal de la esquina roja - un poco hacia abajo, un poco hacia la izquierda):

cubo girado

Ahora viene la parte que me desconcierta: ¿qué pasa después? Obviamente, el suelo no permitirá que la caja tenga tal desplazamiento, evitará que la caja "penetra". ¿Pero cómo?

Mi primer pensamiento al respecto es que, una vez que la esquina roja comience a acelerar para penetrar el suelo, el suelo aumentará la fuerza normal. norte , aumentando así el par de fuerza (en sentido contrario a las agujas del reloj) norte , manteniendo la esquina roja en el suelo. El problema con este enfoque es que la caja nunca comenzaría a girar, ya que el par de torsión de norte siempre sería capaz de contrarrestar el par de torsión de F F r i C t i o norte !

Entonces, mi segunda pregunta : ¿cómo actúa el suelo para evitar que la esquina roja lo penetre y, al mismo tiempo, permitir que la caja gire?

Tal vez estoy analizando usando los marcos de referencia equivocados. Estoy atascado en este punto.

Mi tercera pregunta : a medida que el cuadrado gira en el sentido de las agujas del reloj sin deslizarse, ¿la fuerza de fricción F F r i C t i o norte , en este caso, siempre tienen la misma magnitud que la fuerza F ? Bueno, a primera vista, creo que sí, pero me siento algo incómodo con eso: me pregunto si el par neto τ norte mi t también es capaz de deslizar la esquina roja en el suelo.

Mi cuarta pregunta : como hemos visto anteriormente, la aceleración lineal neta del CG es cero. Concluiría de eso que el CG es estático, pero de todos modos se está moviendo. Describe un arco de círculo cuando la caja gira alrededor de la esquina roja. ¿Cómo tiene sentido? ¿Debería mirarlo desde un marco de referencia diferente?

Cualquier ayuda en esto será muy apreciada.

¡Gracias!

Respuestas (1)

Primero vamos a darle a la caja algunas dimensiones: w por ancho y h por altura

Una caja estacionaria nivelada

El escenario que describiste anteriormente es casi correcto si F h ≤ metro gramo w .

El par neto sobre la caja sería F h 2 − norte w 2 , que si norte = metro gramo daría como resultado un par neto en sentido contrario a las agujas del reloj (negativo en mi marco de referencia elegido). Esto significaría que la esquina que no está en rojo sería empujada hacia el piso, soportando parte del peso de la caja, reduciendo norte hasta F h 2 − norte w 2 = 0 .

Una caja de aceleración

Si hay un par neto en la caja (es decir, F h 2 − norte w 2 ≥ 0 ), entonces la caja acelerará alrededor de la esquina roja. Tenga en cuenta que acelerar alrededor de la esquina roja aceleraría el centro de masa. Dado que está acelerando, ya no podemos afirmar que las fuerzas netas son cero. en especial ahora F > F fricción y norte > metro gramo .

Entonces, su primera y segunda pregunta son respondidas por el hecho de que sí. norte aumentará a medida que la caja comience a girar, pero ese aumento le permitirá dominar el peso de la caja permitiendo que el centro de masa acelere hacia arriba. Una vez que el centro de masa se ha movido hacia arriba, ahora hay espacio para que la esquina gire sin penetrar el suelo.

En cuanto a tu tercera pregunta. No F ≠ F fricción una vez que la caja comienza a acelerar. F fricción se reducirá una vez que la caja comience a girar.

Para su cuarta pregunta, la aceleración lineal neta del CG no es cero. Tienes razón en que el CG describe un arco de círculo.

Si desea calcular estos valores, procedería de la siguiente manera:

El momento de inercia de una caja con respecto a su esquina es

I = metro w 2 + h 2 3 .
El equivalente angular de F = metro a es
τ = I α = I ω ˙ = I θ ¨ .
Ahora, antes miramos el par neto sobre el centro de gravedad. Si bien es posible resolver este problema usando ese origen, elegir el punto rojo como nuestro centro nos permite omitir algunos pasos:
τ = F h porque ⁡ ( θ ) + w pecado ⁡ ( θ ) 2 − metro gramo w porque ⁡ ( θ ) − h pecado ⁡ ( θ ) 2 θ ¨ = F h porque ⁡ ( θ ) + w pecado ⁡ ( θ ) 2 I − metro gramo w porque ⁡ ( θ ) − h pecado ⁡ ( θ ) 2 I .
Desafortunadamente, esto es equivalente al problema del péndulo de gran oscilación por una rotación del sistema de coordenadas. Como tal, no existe una solución analítica, pero una solución numérica podría ayudarlo θ ( t ) .

Por supuesto, esta solución solo sería válida hasta el punto en que la fricción cediera. F fricción > m estático norte .

¿Cómo interactúa el suelo con una caja que gira alrededor de su esquina?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v