Necesito ayuda con los tensores

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Necesito ayuda con los tensores

Física
cálculo tensorial
relatividad general
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tensión-energía-momentum-tensor

usuario41178

Estoy en un curso de relatividad general y soy bastante nuevo en tensores. Mi profesor dice que dejará de aprender sobre cómo manipular los tensores hasta nuestra lectura (ya que hay una sección en el libro que lo describe, a saber, el libro de Carroll), pero todavía estoy confundido acerca de algunas cosas. Aquí hay un problema que acabo de resolver, pero quiero tener más detalles sobre lo que está sucediendo.

El problema dice: "Para un grupo de partículas que se mueven todas con la misma velocidad, $\tilde{\beta} = \beta \tilde{e}_x$ como se ve en un marco de referencia inercial S con una densidad de masa en reposo de $\rho_0$ , calcule el tensor esfuerzo-energía".

De nuevo, tengo la solución y pude obtenerla, pero no la entiendo. Entonces, para un fluido perfecto, el tensor de energía de estrés solo tiene un componente, a saber,

T^{m v} = (\begin{array}{cccc} ρ_{0} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

$\begin{equation} T^{\mu \nu} = \left( \begin{array}{cccc} \rho_0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation}$

La 4-velocidad de un marco intercial que se mueve con velocidad $\tilde{\beta}$ es dado por:

{tu}^{m} = (\begin{array}{cccc} γ \\ γ β \\ 0 \\ 0 \end{array})

$\begin{equation} U^{\mu} = \left( \begin{array}{cccc} \gamma \\ \gamma \beta \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{equation}$

Entonces, en la solución dice: "Al transformarse en un marco que se mueve en la dirección x con velocidad $-\beta$ , encontramos los componentes distintos de cero".

Entonces, para obtener la solución que proporcionan, he determinado, puramente por manipulación matemática, que necesito hacer lo siguiente (no creo que mi notación sea correcta):

Primero escribe:

{tu}^{m} {tu}^{v} = (\begin{array}{cccc} γ^{2} & γ^{2} β & 0 & 0 \\ γ^{2} β & γ^{2} β^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

$\begin{equation} U^{\mu}U^{\nu}= \left( \begin{array}{cccc} \gamma^2 & \gamma^2\beta & 0 & 0 \\ \gamma^2\beta & \gamma^2\beta^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation}$

Entonces hice esto esto:

T^{m v} \otimes {tu}^{m} {tu}^{m} = (\begin{array}{cccc} γ^{2} ρ_{0} & γ^{2} ρ_{0} β & 0 & 0 \\ γ^{2} ρ_{0} β & γ^{2} ρ_{0} β^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

$\begin{equation} T^{\mu\nu}\otimes U^{\mu}U^{\mu}= \left( \begin{array}{cccc} \gamma^2\rho_0 & \gamma^2\rho_0\beta & 0 & 0 \\ \gamma^2\rho_0\beta & \gamma^2\rho_0\beta^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation}$ cual es la respuesta Pero, ¿por qué esto representa una transformación del marco en movimiento? Además, creo que también puede haber algo con el signo de

β

$\beta$ como se esta moviendo

- β

$-\beta$ con respecto al marco de reposo de las partículas. Además, no estoy seguro de mi uso de

\otimes

$\otimes$ es correcto. Todo lo que hice fue multiplicar la matriz

U^{μ} U^{ν}

$U^{\mu}U^{\nu}$ con

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ . ¡Cualquier ayuda sería apreciada!

hebetudinoso

Si el marco se mueve con

- β

$-β$ , el asunto se mueve con

β

$β$ , por lo que el signo es correcto.

Constantino negro

Hola. Para un fluido perfecto el tensor esfuerzo-energía es

T_{α β} = ρ u^{α} u^{β}

$T_{αβ}=ρu^{α}u^{β}$ . Lorentz transforma tus objetos del marco inercial que ya tienes al móvil. Creo que entonces descubrirás por qué el resultado es el mismo.

usuario5174

Puede (o no) ayudar considerar la transposición métrica

g_{μ κ} T^{κ ν}

$g_{\mu \kappa} T^{\kappa \nu}$ en vez de

T

$T$ , por lo que tiene un objeto cuya representación de coordenadas es verdaderamente un

4 \times 4

$4 \times 4$ matriz. Si tiene cuidado con las filas frente a las columnas, la representación de coordenadas de

T^{μ ν}

$T^{\mu \nu}$ debería ser un

16 \times 1

$16 \times 1$ matriz dividida en cuatro

4 \times 1

$4 \times 1$ bloques

Respuestas (1)

Necesito ayuda con los tensores

Si el marco se mueve con $-β$ , el asunto se mueve con $β$ , por lo que el signo es correcto.
Hola. Para un fluido perfecto el tensor esfuerzo-energía es $T_{αβ}=ρu^{α}u^{β}$ . Lorentz transforma tus objetos del marco inercial que ya tienes al móvil. Creo que entonces descubrirás por qué el resultado es el mismo.
Puede (o no) ayudar considerar la transposición métrica $g_{\mu \kappa} T^{\kappa \nu}$ en vez de $T$ , por lo que tiene un objeto cuya representación de coordenadas es verdaderamente un $4 \times 4$ matriz. Si tiene cuidado con las filas frente a las columnas, la representación de coordenadas de $T^{\mu \nu}$ debería ser un $16 \times 1$ matriz dividida en cuatro $4 \times 1$ bloques

Zhengyan Shi · Answer 1

Su método aquí es incorrecto y sus cálculos están un poco equivocados (aunque obtuvo la respuesta correcta). Entonces, sigamos el procedimiento correcto.

Para cualquier tensor arbitrario en el espacio-tiempo plano (por lo que todavía vivimos en la relatividad especial), la ley de transformación se puede describir mediante la siguiente ecuación:

T^{m^{'} v^{'}} = T^{m v} Λ_{m}^{m^{'}} Λ_{v}^{v^{'}}

$T^{\mu'\nu'} = T^{\mu\nu} \Lambda^{\mu'}_{\mu} \Lambda^{\nu'}_{\nu}$ Donde el

Λ

$\Lambda$ s representan transformaciones de Lorentz desde el marco original (sin imprimar) hasta el marco en el que nos estamos transformando (el marco imprimado). Entonces

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ son los componentes del tensor esfuerzo-energía en el marco no imprimado, mientras que

T^{μ^{'} ν^{'}}

$T^{\mu'\nu'}$ son los componentes correspondientes en el marco imprimado.

Ahora, dado que expresaste el tensor de tensión-energía en su forma matricial, haré lo mismo. La forma matricial de la ecuación de transformación es:

T^{'} = Λ T Λ^{T}

$T' = \Lambda T \Lambda^T$ Dónde

Λ

$\Lambda$ es la representación matricial de la transformación de Lorentz y

Λ^{T}

$\Lambda^T$ es la transpuesta (intercambio de filas y columnas) de

Λ

$\Lambda$ .

Para un impulso en el $x$ dirección con velocidad $- \beta$ (su caso), el $\Lambda$ matriz se ve así:

Λ = (\begin{array}{cccc} γ & γ β & 0 & 0 \\ γ β & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

$\begin{equation} \Lambda = \left( \begin{array}{cccc} \gamma & \gamma \beta & 0 & 0 \\ \gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation}$ La transposición es en realidad la misma:

Λ^{T} = (\begin{array}{cccc} γ & γ β & 0 & 0 \\ γ β & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

$\begin{equation} \Lambda^T = \left( \begin{array}{cccc} \gamma & \gamma \beta & 0 & 0 \\ \gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation}$ Entonces podemos calcular

T^{'}

$T'$ :

T^{'} = (\begin{array}{cccc} γ & γ β & 0 & 0 \\ γ β & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) (\begin{array}{cccc} ρ_{0} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) (\begin{array}{cccc} γ & γ β & 0 & 0 \\ γ β & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) = (\begin{array}{cccc} γ^{2} ρ_{0} & γ^{2} ρ_{0} β & 0 & 0 \\ γ^{2} ρ_{0} β & γ^{2} ρ_{0} β^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

$\begin{equation} T' = \left( \begin{array}{cccc} \gamma & \gamma \beta & 0 & 0 \\ \gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} \rho_0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} \gamma & \gamma \beta & 0 & 0 \\ \gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} \gamma^2 \rho_0 & \gamma^2 \rho_0 \beta & 0 & 0 \\ \gamma^2 \rho_0 \beta & \gamma^2 \rho_0 \beta^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation}$

¡Sorpresa! Usé un método diferente pero obtuve la misma respuesta. Entonces, ¿cuál es la coincidencia aquí? Bueno, la coincidencia se debe simplemente a la forma especial de un tensor de tensión-energía fluido perfecto:

T^{m v} = ρ_{0} {tu}^{m} {tu}^{v}

$T^{\mu\nu} = \rho_0 U^{\mu} U^{\nu}$ Entonces, cuando aplicamos la transformación de Lorentz al tensor, obtenemos:

T^{m^{'} v^{'}} = T^{m v} Λ_{m}^{m^{'}} Λ_{v}^{v^{'}} = ρ_{0} {tu}^{m} Λ_{m}^{m^{'}} {tu}^{v} Λ_{v}^{v^{'}}

$T^{\mu'\nu'} = T^{\mu\nu} \Lambda^{\mu'}_{\mu} \Lambda^{\nu'}_{\nu} = \rho_0 U^{\mu} \Lambda^{\mu'}_{\mu} U^{\nu} \Lambda^{\nu'}_{\nu}$ Lo que equivale a aplicar transformaciones de Lorentz a las cuatro velocidades

U^{μ}

$U^{\mu}$ y

U^{ν}

$U^{\nu}$ por separado y luego tomando un producto tensorial:

T^{m^{'} v^{'}} = ρ_{0} {tu}^{m^{'}} {tu}^{v^{'}}

$T^{\mu'\nu'} = \rho_0 U^{\mu’} U^{\nu’}$ En forma tensorial, esto es equivalente a:

T^{'} = ρ_{0} {tu}^{'} \otimes {tu}^{'}

$T' = \rho_0 U' \otimes U'$ Así que tu uso del producto tensorial fue incorrecto. Si realizamos el cálculo de esta forma, obtenemos:

{tu}^{'} = (\begin{array}{cccc} γ \\ γ β \\ 0 \\ 0 \end{array})

$\begin{equation} U' = \left( \begin{array}{cccc} \gamma \\ \gamma \beta \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{equation}$ Entonces podemos calcular

T^{'}

$T'$ :

T^{m^{'} v^{'}} = ρ_{0} {tu}^{m^{'}} {tu}^{v^{'}} = ρ_{0} (\begin{array}{cccc} γ^{2} & γ^{2} β & 0 & 0 \\ γ^{2} β & γ^{2} β^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

$\begin{equation} T^{\mu'\nu'} = \rho_0 U^{\mu'} U^{\nu'} = \rho_0 \left( \begin{array}{cccc} \gamma^2 & \gamma^2 \beta & 0 & 0 \\ \gamma^2 \beta & \gamma^2 \beta^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation}$

¡Espero que esto aclare tu confusión!

¡Muchas gracias! ¡Esto aclara mi confusión perfectamente!

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Zhengyan Shi

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