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¿Alguien sabe cómo pasar de (1) a (2) en el sistema?

(1) gramo , ρ m v + gramo σ v Γ σ ρ m + gramo m σ Γ ρ σ v − 1 2 ( Γ ρ σ σ + Γ σ ρ σ ) gramo m v = 0 , (2) gramo , v [ m v ] + 1 2 ( Γ ρ v ρ − Γ v ρ ρ ) gramo ( m v ) = 0 ,

contrayendo la ecuación (1) una vez con respecto a ( m , ρ ), entonces con respecto a ( v , ρ )?

Dónde Γ no es simétrica con respecto a los índices inferiores.

Mi intento hasta ahora para resolver este problema es: Bueno, cuando se contrae con respecto a μ y ρ obtengo:

− 1 2 gramo ρ v Γ a ρ a − 1 2 gramo ρ v Γ ρ a a + gramo a v Γ a ρ ρ + gramo ρ a Γ ρ a v + gramo , ρ ρ v = 0
y al contraer con respecto a nu y ρ obtengo:
− 1 2 gramo m ρ Γ a ρ a − 1 2 gramo m ρ Γ ρ a a + gramo a ρ Γ a ρ m + gramo m a Γ ρ a ρ + gramo , ρ m ρ = 0
al restar estas dos ecuaciones obtengo:
1 2 gramo m ρ Γ a ρ a − 1 2 gramo ρ v Γ a ρ a + 1 2 gramo m ρ Γ ρ a a − 1 2 gramo ρ v Γ ρ a a + gramo a v Γ a ρ ρ − gramo a ρ Γ a ρ m − gramo m a Γ ρ a ρ + gramo ρ a Γ ρ a v − gramo , ρ m ρ + gramo , ρ ρ v = 0
No puedo ver cómo esto es igual a la ecuación (2)

Creo que esta es una pregunta válida para los físicos en ejercicio. @OP: Explique un poco más sobre lo que intentó. En general, desaconsejamos a las personas que obtengan soluciones HW de este phy.SE.
bueno, este no es un problema de tarea, sino solo una ecuación que encontré en el libro de Schrödinger "Estructura del espacio-tiempo".
Tiendo a estar de acuerdo con Siva. Echa un vistazo a las propiedades de simetría de los diferentes símbolos cuando restas las dos versiones contraídas de la ecuación (1).
Hola usuario38032. Bienvenido a Phys.SE. Si aún no lo ha hecho, tómese un minuto para leer la definición de cuándo usar la etiqueta de tarea y la política de Phys.SE para problemas similares a la tarea.
Mira, ya dije que esto no es una tarea.
Estas ecuaciones están en el Libro de Schrödinger "Estructura del espacio-tiempo", página 110, y solo quería saber cómo pasar de (1) a (2), así que si no sabes la respuesta, deja de dejar estos comentarios inútiles sobre este ser. un problema de tarea.
No estoy tan seguro acerca de la primera vertiente de la política de preguntas tipo tarea (que la pregunta sea lo suficientemente conceptual), pero me parece que incluso si esta pregunta pasa la prueba, sin algún tipo de intento de mostrar el trabajo. usted mismo, esta pregunta probablemente permanecerá en espera y finalmente se cerrará.
La política de preguntas tipo tarea no se aplica porque las preguntas se asignaron como tarea, sino porque el valor principal de esa pregunta parece ser pedagógico (es decir, son el tipo de pregunta que se le daría al estudiante porque enseña una habilidad o un punto en particular). ).
Las buenas respuestas de @Dmckee a tales preguntas son extremadamente valiosas para las personas que desean estudiar el tema a nivel técnico. En mi humilde opinión, es una pregunta técnica válida, y el ciclo cerrado de preguntas cerradas no es nada bueno. Uno de ellos debería estar abierto y permitir obtener una buena respuesta que ciertamente no solo apreciarían las personas que votaron a favor de la pregunta.
Tenga en cuenta que (i) las dos ecuaciones correspondientes. (12.14) y (12.15) en el libro E. Schrodinger, Space Time Structure, tienen asteriscos en el Γ λ m v simbolos Esto se define en la ec. (12.12). (ii) Además, los tensores métricos se escriben en gótico, lo que se refiere a un factor de raíz cuadrada implícito. (iii) Y finalmente no se supone simetría en el tensor métrico y el Γ λ m v simbolos

Respuestas (1)

El intento de obtener

gramo , v [ m v ] + 1 2 ( Γ ρ v ρ − Γ v ρ ρ ) gramo ( m v ) = 0 ,
estuvo casi en lo cierto! Lo único que faltó fue un poco de cuidado con el reetiquetado de los índices. Procederemos en tres pasos principales.

1.) Entonces, al contraer la Ec. (1) con respecto a m y ρ , obtenemos la identidad:

− 1 2 gramo ρ v Γ a ρ a − 1 2 gramo ρ v Γ ρ a a + gramo a v Γ a ρ ρ + gramo ρ a Γ ρ a v + gramo , ρ ρ v = 0.

Ahora, al volver a etiquetar los índices ficticios en el tercer término como a ↔ ρ , obtenemos que el tercer término se puede escribir como gramo ρ v Γ ρ a a . Además, podemos ver que ahora el segundo y el tercer término se pueden simplificar: sumarlos da + 1 2 gramo ρ v Γ ρ a a . Por un cambio de etiqueta de índice final v → m , obtenemos que:

− 1 2 gramo ρ m Γ a ρ a + 1 2 gramo ρ m Γ ρ a a + gramo ρ a Γ ρ a m + gramo , ρ ρ m = 0. ( A )

2.) Al contraer la Ec. (1) con respecto a v y ρ , obtenemos la identidad:

− 1 2 gramo m ρ Γ a ρ a − 1 2 gramo m ρ Γ ρ a a + gramo a ρ Γ a ρ m + gramo m a Γ ρ a ρ + gramo , ρ m ρ = 0.

Renombramos también los índices ficticios en el cuarto término como a ↔ ρ . Podemos ver ahora que el cuarto término es simplemente gramo m ρ Γ a ρ a , y el 1er y 4to término por lo tanto juntos dan 1 2 gramo m ρ Γ a ρ a . Además, realicemos también el a ↔ ρ "reetiquetado de índice ficticio", dando como resultado gramo ρ a Γ ρ a m para el 3er término. Después de estas manipulaciones, nuestra identidad se lee como

1 2 gramo m ρ Γ a ρ a − 1 2 gramo m ρ Γ ρ a a + gramo ρ a Γ ρ a m + gramo , ρ m ρ = 0. ( B )

3.) Ahora tomando (B)-(A), obtenemos:

gramo , ρ m ρ − gramo , ρ ρ m + 1 2 ( gramo m ρ + gramo m ρ ) ( Γ a ρ a − Γ ρ a a ) = 0 ,
que despues de la a → ρ y ρ → v el reetiquetado es exactamente igual que la ecuación deseada. (2).

No entiendo por qué te volviste a etiquetar v → m en tu primer paso.
¿No entiendes por qué lo hice o por qué se me permite hacerlo? Responderé a ambos. 1) ¿Por qué lo hice? Calculé (B) de antemano, y vi que después de esto v → m reetiquetando obtengo una ecuación. (A) que restado de (B) me da la ecuación que querías obtener. ¿Por qué se me permite hacerlo? Sin el v → m reetiquetando obtendría − 1 2 gramo ρ v Γ a ρ a + 1 2 gramo ρ v Γ ρ a a + gramo ρ a Γ ρ a v + gramo , ρ ρ v = 0 , con lo que supongo que también estás de acuerdo. Ahora v puede ser cualquier índice, así que simplemente elijo v = m .
No entiendo por qué se te permite hacerlo. ¿Estás diciendo que la ecuación (2) solo es válida si ν=μ?.
¡No! La ecuación (2) también es válida cuando v ≠ m , tienes que llevar un registro de todos los reetiquetados que hice. Vamos más lento. Olvídate de todas las ecuaciones anteriores y responde a esto: 1) ¿Estás de acuerdo en que si − 1 2 gramo ρ v Γ a ρ a + 1 2 gramo ρ v Γ ρ a a + gramo ρ a Γ ρ a v + gramo , ρ ρ v = 0 vale para cualquier v ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 } , Después también − 1 2 gramo ρ m Γ a ρ a + 1 2 gramo ρ m Γ ρ a a + gramo ρ a Γ ρ a m + gramo , ρ ρ m = 0 vale para cualquier m ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 } ? Es el mismo conjunto de ecuaciones.
@ user38032 Piense en mi pregunta anterior. Después de que hayas respondido, daremos el siguiente paso.
Sí estoy de acuerdo. para ambas ecuaciones.
¡Qué bueno que viste el punto anterior! Ahora estamos casi allí. Así que estás de acuerdo en que − 1 2 gramo ρ m Γ a ρ a + 1 2 gramo ρ m Γ ρ a a + gramo ρ a Γ ρ a m + gramo , ρ ρ m = 0 (vale para todos m ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 } . Luego mi siguiente pregunta: ¿También está de acuerdo con mi derivación en el punto (2) de mi respuesta de que 1 2 gramo m ρ Γ a ρ a − 1 2 gramo m ρ Γ ρ a a + gramo ρ a Γ ρ a m + gramo , ρ m ρ = 0 vale para todos m ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 } ? Si es así, resta las dos ecuaciones y dame la respuesta.
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