Error de cálculo en algún lugar al encontrar el tensor de tensión-energía

Si el lagrangiano en la teoría de Maxwell es

$$L= R- \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

yo quiero encontrar$T_{\mu\nu}$

El procedimiento es que vario la acción:

$$\delta S = -1/2 \int{d^4x \sqrt{g}(g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}L-2\delta L)}$$

calculé

$$\delta L = 2(\delta g^{\mu\nu})F_{\nu}\, ^{\lambda} F_{\mu\lambda}$$ Luego estaba reemplazando las cosas ignorando la R en el lagrangiano anterior por una razón que no reconozco, pero mi objetivo era llegar a la respuesta final, que era $T_{\mu\nu}$- Busqué en google para encontrarlo igual a $$T_{\mu\nu}= F_{\mu\lambda} F^\lambda_\nu - 1/4g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}$$

Como sustituí mi$\delta L$, y$L$y otra vez ($L$siendo privado de R) obtuve:

$$\delta S = \int{ d^4x \sqrt{g} \delta g^{\mu\nu}(-1/4 g_{\mu\nu}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + g_{\mu\nu}F _\nu \, ^\lambda F_{\mu\lambda})}$$ Así, por la relación $\delta S = \int{ d^4x \sqrt{g} \delta g^{\mu\nu}(T_{\mu\nu})}$Sabía por identificación que mi Tensor es $$-1/4 g_{\mu\nu}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + g_{\mu\nu}F_\nu \, ^\lambda F_{\mu\lambda}.$$

Comparacion con el que encontre en la web no se como quitar el$g_{\mu\nu}$en el segundo término en mi tensor y no sé por qué mis índices F en el primer término son los mismos que los de la métrica g a diferencia del tensor que busqué en google.

¿Me pueden ayudar a encontrar mi error?