Tensor dual de Riemann y teoría del campo escalar

Estoy tratando de encontrar la ecuación componente de movimiento para la acción en un papel . La acción para el sistema es,

$$S=\frac{m_P^2}{8\pi}\int d^4x\sqrt{-g}\bigg(\frac{R}{2}-\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi+\alpha\phi\mathcal{G}\bigg),$$ dónde$\mathcal{G}=R^{\mu\nu\rho\sigma}R_{\mu\nu\rho\sigma}-4R^{\mu\nu}R_{\mu\nu}+R^2$es el invariante de Gauss-Bonnet. La ecuación de movimiento de Einstein modificada para la acción es, $$G_{\mu\nu}=T_{\mu\nu}=\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}(\partial\phi)^2-\alpha(g_{\rho\mu}g_{\delta\nu}+g_{\rho\nu}g_{\delta\mu})\nabla_{\sigma}(\partial_{\gamma}\phi\epsilon^{\gamma\delta\alpha\beta}\epsilon^{\rho\sigma\lambda\eta}R_{\lambda\eta\alpha\beta}),$$ donde el término final entre paréntesis es el tensor dual de Riemann (creo que no tiene divergencia). El campo escalar es una función de$r$solo y por lo tanto$\gamma=r$para que el tercer término sea distinto de cero. En la primera parte del documento que he vinculado, la métrica, $$ds^2=-e^{A(r)}dt^2+e^{B(r)}dr^2+r^2(d\theta^2+sin^2(\theta)d\varphi^2),$$ se utiliza como ansatz como solución. Esto luego se sustituye en la ecuación de Einstein y la$tt, rr$y$\theta\theta$se encuentran las ecuaciones.

He intentado hacer las contracciones en MAPLE para el$tt$componente, asegurándose de que los índices sean correctos (p.$\rho=t$desde$\mu=t$etc.). Sin embargo, sigo recibiendo términos de la forma,

$$-8\alpha e^A\frac{(1-e^B)(\phi''-\frac{B'}{2}\phi')}{e^{2B}r^2}+\frac {1}{2}e^{A}\phi'^2,$$ que está cerca de las respuestas que producen en el apéndice excepto el$B'\phi'$término en el apéndice lleva un ($e^{B}-3$) y no sé de dónde viene este 3. Para encontrar mi respuesta utilizo la naturaleza sin divergencia del dual de Riemann ($*R*$), para escribir el último término en la RHS de la ecuación de Einstein como

$$\nabla_{\sigma}(\partial_{\gamma}\phi\epsilon^{\gamma\delta\alpha\beta}\epsilon^{\rho\sigma\lambda\eta}R_{\lambda\eta\alpha\beta})=\epsilon^{rt\varphi\theta}\epsilon^{tr\theta\varphi}R_{\theta\varphi\varphi\theta}\nabla_{r}\partial_r\phi=(*R*)_{\theta\varphi\varphi\theta}\bigg(\phi''-\frac{B'}{2}\phi'\bigg),$$ donde en la última igualdad he expandido la derivada covariante y uso el$\Gamma^{r}_{rr}$Símbolo de Christoffel.

Surgen más problemas cuando observo el$rr$término ya que me faltan al menos 4 términos del apéndice.

No estoy seguro si hay un problema en mi comprensión, o si hay algo que debería saber sobre el Riemann Dual que no tengo aquí, o si mi uso de solo el$\Gamma^r_{rr}$el símbolo es correcto. Si alguien pudiera ayudarme a ver dónde están fallando mis cálculos, realmente lo agradecería.