¿Por qué ϕ→e−iα(x)ϕϕ→e−iα(x)ϕ\phi \to e^{-i\alpha(x)}\phi bajo una transformación de norma Aμ→Aμ+∂μα(x)Aμ →Aμ+∂μα(x)A_{\mu} \to A_{\mu} + \parcial_{\mu}\alpha(x)?

¿Estamos diciendo que podemos construir una teoría tal que esto se cumpla, así que declaremos que esto es cierto y veamos qué sucede?

Sí, esto es básicamente el caso. Pero la suposición no es tan arbitraria como podría parecer al principio. No es como si la gente intentara varias transformaciones como$\phi \to \alpha(x) \phi$,$\psi \to \phi \sin \alpha(x)$, etc. hasta que se toparon con la transformación$\phi \to e^{-i \alpha(x)} \phi$que correspondía a la fenomenología correcta.

Las transformaciones de calibre son cosas graciosas, porque a diferencia de (la mayoría) de las transformaciones globales, no son procesos físicos reales. No puede presionar un botón en su aparato experimental y hacer que el sistema que está estudiando experimente una transformación de calibre, cuyos efectos luego puede estudiar empíricamente. Entonces, preguntar cómo se transforma una cantidad física bajo transformaciones de calibre no es realmente una pregunta empírica.

El principio unificador que motiva a las personas a estudiar las transformaciones simultáneas particulares.$A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \alpha(x)$y$\phi \to e^{-i \alpha(x)}$es que este par de transformaciones pasa a dejar la densidad lagrangiana escalar QED

$$\mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} -\frac{1}{2} (\partial_\mu - i e A_\mu)\phi(x)\ (\partial^\mu - i e A^\mu)\phi(x)$$

invariante para cualquier elección de función$\alpha(x)$. [Esta forma particular del Lagrangiano no solo fue descubierta por prueba y error, sino al "calibrar" una teoría con una simetría global pero sin campos de calibre a través de un "acoplamiento mínimo", simplemente reemplazando todas las derivadas parciales en los campos de materia cargada en el lagrangiano con "derivadas covariantes". Esa es otra historia.]

Sobre el papel, esto es solo una peculiaridad matemática interesante de este Lagrangiano en particular. Pero empíricamente, los Lagrangianos para todos los campos en el Modelo Estándar tienen estas formas especiales, donde se dejan invariantes bajo estas transformaciones que dependen de una función arbitraria del espacio-tiempo. Además, estas "simetrías locales" son necesarias tanto para (a) explicar muchas relaciones entre términos en esos lagrangianos (incluido por qué faltan por completo ciertos términos renormalizables y no objetables), y (b) dar explicaciones (semi-heurísticas) de cómo cuantificar estas teorías clásicas.

Entonces, cuando preguntamos "¿cómo se transforma un campo en particular bajo transformaciones de calibre?", Realmente queremos decir "¿cómo debe transformarse para dejar invariante la densidad lagrangiana bajo esta transformación formal?" Si sólo consideraras la transformación$A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \alpha(x)$sin cambiar$\phi$en absoluto, entonces el Lagrangiano no sería invariante, porque la regla del producto de las derivadas parciales en$\phi$traería términos adicionales. Así que esto no sería una transformación de indicador en absoluto, y no tendría sentido decir que$A_\mu$"transforma" de esa manera: tal declaración no tendría contenido físico ni matemático.

Podrías imaginar una teoría diferente con Lagrangian

$$\mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} -\frac{1}{2} \partial_\mu \phi(x) \partial^\mu \phi(x).$$

De hecho, tal teoría sería invariante bajo la transformación que propone, y técnicamente sería una teoría de calibre (diferente de QED). Pero en esta teoría la$\phi$y$A_\mu$los campos serían completamente independientes y no interactuarían en absoluto. Dado que su aparato experimental está presumiblemente hecho de campos de materia$\phi$, sería completamente incapaz de detectar el campo del indicador$A_\mu$de cualquier manera, y podrías ignorar por completo su existencia.

"¿O simplemente estamos diciendo que podemos construir una teoría tal que esto se cumpla, así que simplemente declaremos que esto es cierto y veamos qué sucede?"

Esto es precisamente lo que sucede. La esencia de QED escalar es que es una teoría de un fotón$A_\mu$y un escalar$\phi$que ambos transforman no trivialmente bajo el mismo local$U(1)$simetría - lo que significa que la acción del grupo está especificada por alguna función$\alpha(x)$. Los libros de texto muestran que esto esencialmente especifica de forma única la teoría, al menos los términos con dimensión$\leq 4$(es fácil anotar las interacciones que son irrelevantes bajo los flujos de RG).

Su segunda pregunta es más interesante: supongamos que$\phi$transformado trivialmente ($\phi$tiene carga 0), ¿aún podrías escribir algo interesante? La respuesta es sí. Nuestra inspiración es la siguiente: si$J_\mu$es una corriente conservada, entonces

$$\int\!d^4x\, A^\mu J_\mu$$ es calibre-invariante. Esto es fácil de comprobar, ya que bajo el $A_\mu$variación que lee $$\int\!d^4x\, (\partial_\mu \alpha(x))J_\mu = -\int\!d^4x\, \alpha(x)\partial^\mu J_\mu = 0.$$ Dado un bosón complejo $\phi$con solo un término de masa, puede construir el operador vectorial $$J_\mu = i (\phi \partial_\mu \bar{\phi} - \bar\phi \partial_\mu {\phi})$$ que se puede probar es hermítica y conservada. Este es por supuesto el $U(1)$Noether actual, pero no nos importa eso en este momento. Entonces podrías estudiar la acción. $$L = - (F_{\mu \nu})^2 + |\partial_\mu \phi|^2 + m^2 |\phi|^2 + g A^\mu J_\mu$$ que acabamos de demostrar que es invariante bajo $$A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \alpha(x)\,, \quad \phi \to \phi\,, \quad \bar\phi \to \bar\phi\,.$$

Esta acción es muy similar a la del escalar QED, hasta un término$A_\mu^2 |\phi|^2$. La razón es que$J_\mu$ya no está bien definido si$\phi$se transforma en$\exp(-i\alpha(x)) \phi$, entonces hay una conspiración entre el término cinético, el$J^\mu A_\mu$término y el$A^2 |\phi|^2$término para hacer que todo calibre sea invariable. Esa es la belleza de QED escalar.