N=4N=4{\cal N}=4 SYM en términos de N=1N=1{\cal N}=1: El SO(6)SO(6)SO(6) en el término de Yukawa

esta pregunta tiene 2 años, pero pensé que nunca es demasiado tarde. No estoy seguro de la respuesta definitiva, pero aquí están mis pensamientos.

Tome el punto de vista del álgebra SO(6). El$\mathbf{6}$es la representación fundamental (vectorial), y la$\mathbf{4}$es la representación del espinor. Así que estamos buscando símbolos.$\Sigma_{AB}^I$que combinan dos espinores en un vector.

Esto parece análogo al caso habitual SO(1,3), donde$\sigma^\mu_{\alpha\dot\beta}$convertir dos espinores de Weyl en un vector. Escribir las matrices gamma en base de Weyl

Debería ser similar para SO(6). Escribe su$8\times 8$matrices gamma$\hat\gamma^I$en base Weyl

Uno puede encontrar una construcción explícita aquí (¡sin embargo, tenga en cuenta las convenciones y la firma!), O puede intentar construir las matrices gamma y sigma desde cero.

De lo que no estoy seguro es del hecho de que en el caso de SO(1,3) el$\sigma^\mu_{\alpha\dot\beta}$tener un índice de espinor para zurdos y otro para diestros, esto probablemente también debería valer para SO (6), por lo que estaría tentado a escribir$\Sigma^i_{A\dot B}$, pero en la contracción en tu ejemplo$\Sigma^I$se contrae con dos espinores de la misma quiralidad.

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Una adición sobre lo que dije en el último párrafo: en SO(4) (así que asumo también en SO(1,3)) los espinores izquierdo y derecho son los$\mathbf{2}=[1,0]$y el$\mathbf{\bar{2}}=[0,1]$, su producto tensorial da el vector:$\mathbf{2}\otimes\mathbf{\bar{2}}=\mathbf{4}$, como se esperaba.

En SO(6) parece ser un poco diferente: el espinor es el$\mathbf{4}=[0,1,0]$, y también está el$\mathbf{\bar{4}}=[0,0,1]$, que es presumible el otro espinor de quiralidad. Pero la diferencia es que a diferencia de$SO(4)$, aquí$\mathbf{4}\otimes\mathbf{\bar{4}}=\mathbf{1}\oplus\mathbf{15}$, entonces el$\mathbf{4}$y el$\mathbf{\bar{4}}$no se puede combinar en un vector. En cambio,$\mathbf{4}\otimes\mathbf{4}=\mathbf{6}\oplus\mathbf{10}$y$\mathbf{\bar{4}}\otimes\mathbf{\bar{4}}=\mathbf{6}\oplus\mathbf{\bar{10}}$, por lo que para obtener el vector uno realmente tiene que combinar dos espinores de la misma quiralidad.