Cuantificación canónica en mecánica cuántica supersimétrica

Question

Cuantificación canónica en mecánica cuántica supersimétrica

Física
cuantización
modelos sigma
supersimetría
nivel de investigación
formalismo lagrangiano

jj_p

Supongamos que tienes una teoría de mapas $\phi: {\cal T} \to M$ con $M$ alguna variedad riemanniana, lagrangiana

\begin{matrix} (10.198) & L = \frac{1}{2} {gramo}_{i j} {\dot{ϕ}}^{i} {\dot{ϕ}}^{j} + \frac{i}{2} {gramo}_{i j} ({\bar{ψ}}^{i} D_{t} ψ^{j} - D_{t} {\bar{ψ}}^{i} ψ^{j}) - \frac{1}{4} R_{i j k yo} ψ^{i} ψ^{j} {\bar{ψ}}^{k} {\bar{ψ}}^{yo}, \end{matrix}

$L~=~ \frac12 g_{ij}\dot\phi^i\dot\phi^j + \frac{i}{2}g_{ij}(\overline{\psi}^i D_t\psi^j-D_t\overline{\psi}^i\psi^j) -\frac{1}{4}R_{ijkl}\psi^i\psi^j\overline{\psi}^k\overline{\psi}^l,\tag{10.198}$

dónde $g_{ij}=g_{ij}(\phi)$ es la métrica, $R$ su tensor de riemann y derivada covariante

\begin{matrix} (10.199) & D_{t} ψ^{i} = \partial_{t} ψ^{i} + Γ_{j k}^{i} {\dot{ϕ}}^{j} ψ^{k} . \end{matrix}

$D_t\psi^i~=~ \partial_t \psi^i +\Gamma^i_{jk}\dot{\phi}^j\psi^k.\tag{10.199}$

(Detalles tomados del libro Mirror Symmetry, escrito por Vafa et al., párrafo 10.4.1.)

Se da por sentado que el Lagrangiano anterior es clásicamente supersimétrico, con susy transformaciones dadas por

\begin{array}{rcl} (10.200) & d ϕ^{i} & = & ϵ {\bar{ψ}}^{i} - \bar{ϵ} ψ^{i} \\ (10.201) & d ψ^{i} & = & i ϵ ({\dot{ϕ}}^{i} - Γ_{j k}^{i} {\bar{ψ}}^{j} ψ^{k}) \\ (10.202) & d {\bar{ψ}}^{i} & = & - i ϵ ({\dot{ϕ}}^{i} - Γ_{j k}^{i} {\bar{ψ}}^{j} ψ^{k}) . \end{array}

$\begin{eqnarray}\delta\phi^i &=& \epsilon \overline\psi^i-\overline\epsilon \psi^i \tag{10.200}\cr \delta\psi^i &=& i\epsilon (\dot\phi^i-\Gamma^i_{jk}\overline\psi^j \psi^k)\tag{10.201}\cr \delta\overline\psi^i &=& -i\epsilon (\dot\phi^i-\Gamma^i_{jk}\overline\psi^j \psi^k). \tag{10.202}\end{eqnarray}$

¿Cómo puedo cuantificar las sobrecargas clásicas?

\begin{matrix} (10.210) & q = i {\bar{ψ}}_{i} {\dot{ϕ}}^{i}, \bar{q} = - i {gramo}_{i j} ψ^{i} {\dot{ϕ}}^{j} \end{matrix}

$Q=i\overline\psi_i\dot\phi^i, \qquad \overline Q=-ig_{ij}\psi^i\dot\phi^j \tag{10.210}$

de una manera tal que

d F = [ϵ q + \bar{ϵ} \bar{q}, F]_{\pm}

$\delta F=[\epsilon Q+\overline\epsilon\overline{Q},F]_{\pm}$

dónde $F$ es un campo fermiónico o bosónico y $\pm$ se utiliza adecuadamente?

La respuesta natural sería algo así como calcular momentos conjugados

\begin{matrix} (10.207b) & {pag}_{i} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{ϕ}}^{i}}, π_{i ψ} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{ψ}}^{i}}, \end{matrix}

$p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot\phi^i}, \qquad \pi_{i\psi}=\frac{\partial L}{\partial\dot\psi^i}, \tag{10.207b}$

e imponer relaciones canónicas de conmutación

\begin{array}{rcl} (10.208) & [ϕ^{i}, {pag}_{j}] & = & i d_{j}^{i}, \\ (10.209) & {ψ^{i}, π_{ψ, j}} & = & d_{j}^{i} . \end{array}

$\begin{eqnarray} [\phi^i,p_j]&=&i\delta^i_j,\tag{10.208} \cr \{\psi^i,\pi_{\psi,j}\}&=&\delta^i_j.\tag{10.209}\end{eqnarray}$

Dado que al hacer esto me enfrento a problemas de orden no triviales, que el libro no parece preocupar y, además, su versión cuantificada de momento conjugado para $\phi$ me parece mal, asi como esta cuantizado $Q$ no parece reproducir las transformaciones correctas para los campos, pregunto si alguien podría aclarar esto.

Además, mirando en el artículo Constraints on supersymmetry Breaking de Witten, en la vecindad de las ecs. (90), (91), parece afirmar que la definición correcta de cantidad de movimiento conjugada es derivada con respecto a derivada covariante en lugar de derivada con respecto al tiempo, y esto es otra cosa que me deja con algunas dudas.

--

Comentario agregado: debo agregar que Vafa en el libro en la página 184 hace algunos comentarios sobre el pedido de operadores, aunque en un caso más simple. La diferencia aquí es que, a mi entender, tenemos que proporcionar un ordenamiento (también en las propias transformaciones susy) entre $p_i,$ $\phi^j$ $\psi^k$ y $\overline\psi_m$ tal que lo obtenido $Q$ 's generar las transformaciones.

Respuestas (1)

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qmecanico · Answer 1

Sin llegar a hacer el cálculo, verificar las convenciones de signos, etc., mi impresión es la siguiente:

En el nivel clásico, la definición de momento canónico bosónico $p_i:=\frac{\partial L}{\partial\dot{\phi}^i}$ es estándar
El momento canónico fermiónico es más sutil, porque el lagrangiano para los fermiones ya está en forma de primer orden. Una construcción es factible a través del procedimiento estándar de Dirac-Bergmann que conduce a restricciones de segunda clase. El procedimiento de Faddeev-Jackiw ofrece un atajo. Para ver un ejemplo ilustrativo simple (bosónico) de estos dos métodos, consulte, por ejemplo, esta respuesta de Phys.SE.
En el caso bosónico, se debe distinguir entre el momento mecánico/cinético (que es aproximadamente la velocidad) y el momento canónico/conjugado. En la representación Schrödinger/posición, la primera corresponde a derivadas covariantes, mientras que la segunda corresponde a derivadas parciales. (Una situación similar tiene lugar para una partícula cargada en un campo EM con el papel de los símbolos de Christoffel reemplazado por el potencial de calibre EM, cf. esta respuesta de Phys.SE).
Obsérvese en particular que el conmutador entre dos momentos cinéticos en general no será cero.
en ref. 1 equiv. (92) Witten coloca correctamente la derivada covariante en la fórmula de sobrealimentación, pero luego procede por debajo de la ecuación. (92) para referirse erróneamente/confusamente a la derivada covariante como el momento conjugado a $\phi^i$ .
Árbitro. 2 olvida informar a sus lectores que en el medio ha cambiado el significado de $p_i$ para denotar ahora la derivada covariante, cf. ec. (10.217). Además, Ref. 2 errónea/confusamente se refiere a la nueva $p_i$ como el momento conjugado justo por encima de la ec. (10.210). Estos errores son indudablemente estimulados por la terminología confusa de la Ref. 1.
Finalmente, en el nivel de la mecánica cuántica, las prescripciones de pedido del operador deben elegirse de manera que se conserven la Hermiticidad y SUSY.

Referencias:

E. Witten, Restricciones sobre la ruptura de la supersimetría , Nucl. Física B202 (1982) 253 .
K. Hori, S. Katz, A. Klemm, R. Pandharipande, R. Thomas, C. Vafa, R. Vakil y E. Zaslow, Mirror Symmetry, 2003. El archivo PDF está disponible aquí .
E. Witten, Supersimetría y teoría de Morse, J. Diff, Geom. 17, (1982) 661 ; Capitulo 2.

además, en el libro al menos no son precisos al decir que todos los demás (anti-)conmutadores desaparecen, ya que la variable canónica real es $\overline\psi_k$ de modo que $[\overline\psi^i,p_m]$ no desaparece
...si $p_m$ denota el momento cinético bosónico. El corchete de Poisson entre $\overline{\psi}^i$ y el impulso bosónico canónico de hecho se desvanece.
En el tercer comentario anterior, ¿no te refieres al conmutador en lugar del soporte de Poisson?
@Mtheorist: escribí corchetes de Poisson para enfatizar que la construcción ya tiene sentido en el nivel clásico. Por supuesto, también tiene sentido en el nivel del operador cuántico, por lo que puede reemplazar los corchetes de Poisson por conmutadores (divididos por $i\hbar$ ).
Notas para más adelante: Ref. 1 equiv. (90) tiene una normalización de 1/8 frente al término de curvatura, mientras que la Ref. 2 equiv. (10.198) tiene 1/2. OP (v5) tiene un 1/4.
Notas para más adelante: Ref. 1 equiv. (90) tiene el término $i\overline{\psi}^j D_t\psi_j=i\overline{\psi}_j D_t\psi^j$ mientras que la ref. 2 equiv. (10.198) tiene el término simetrizado correspondiente $\frac{i}{2}(\overline{\psi}_j D_t\psi^j-D_t\overline{\psi}^j\psi_j)$ . Son los mismos hasta una derivada de tiempo total. Sin embargo, el momento canónico lagrangiano se vuelve diferente.
@Qmechanic He intentado calcular el momento conjugado para $\phi^i$ , pero lo que obtuve contiene algo más que el simple $g_{ij}\dot{\phi}^j$ (debido al término derivado del tiempo en $D_t\psi$ ). La Ref.[2] arriba dice que no existe tal término adicional. ¿Sabes dónde me equivoco? ¡Gracias!

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