Muestre que existe un subespacio W⊆CnW⊆CnW \subseteq \mathbb{C}^{n} de dimensión 111 tal que cada base Jordan de CnCn \mathbb{C}^{n} contiene un generador de WWW

Para la parte 1.

Sabemos que existe un número entero$m \geq 1$tal que$ker f^{m+1} = \mathbb{C}^n$, pero$ker f^m \neq \mathbb{C}^n$y$dim(ker f^m) + 1 = dim(ker f^{m + 1})$.

Así se puede mostrar$ker f \subsetneq ker f^2 \subsetneq \dots \subsetneq ker f^m \subsetneq ker f^{m+1} = \mathbb{C}^n$dónde$\subsetneq$denota "inclusión estricta" para ser precisos.

Por lo anterior,$\exists v,$ $v \in \mathbb{C}^n$calle$v \notin ker f^m$. De lo contrario,$ker f^m = ker f^{m+1}$

Considere linealmente independiente,$v, u_1, \dots u_j$, tal que$j + 1 = dim(ker f)$, y todo$u_1, \dots, u_j \in ker f^m$.

tal que$f^m v, \dots, fv, v, f^{s_1} u_1, \dots, f u_1, u_1, \dots, f^{s_j}u_j, \dots f u_j, u_j$es una base jordana para$\mathbb{C}^n$.

• La parte$j+1 = dim(ker f)$es importante porque para cualquier base Jordan$f^{k_0} w_0, \dots, fw_0, w_0, f^{k_1} w_1, \dots, f w_1, w_1 \dots f^{k_j}w_j, \dots f w_j, w_j$($f^{k_i + 1}w_i = 0$), la lista$f^{k_0}w_0, \dots, f^{k_j}w_j$es una base para$ker f$. Así, para cualquier base Jordan, el número de$k_i$'s está fijado a la dimensión de$ker f$. De lo contrario, no es una base para$\mathbb{C}^n$

Desde$v \notin ker f^m$, conocemos todas las bases Jordan de$\mathbb{C}^n$para$f$debe contener al menos una$v$, tal que$v \notin ker f^m$, ($ker f^m \neq \mathbb{C}^n$). Conocemos al menos uno, ya que$dim(ker f^m) + 1 = dim(ker f^{m+1})$.

Arregla el$v$, y el$u_i$está arriba. Suponer$\exists v_2 \notin ker f^m, v_2 \neq v$y$v_2,u_1, \dots, u_j$es linealmente independiente.

tal que$f^m v_2, \dots, fv_2, v_2, f^{s_1} u_1, \dots, f u_1, u_1, \dots f^{s_j}u_j, \dots f u_j, u_j$

es una base jordana de$\mathbb{C}^n$para$f$.

Ahora considere algún vector$w \notin ker f^m$y su expansión lineal sobre ambas bases.

$w = \lambda_{0,1} f^m v + \dots + \lambda_{0,(m-1)}fv + \lambda_{0,m}v + \lambda_{1,1} f^{s_1} u_1 + \dots + \lambda_{1,s_1-1}f u_1 + \lambda_{1,(s_1 -1)}u_1 + \dots + \lambda_{j,1}f^{s_j}u_j + \dots + \lambda_{j, (s_j -1)}f u_j + \lambda_{j, s_j}u_j$

$=$

$\eta_{0,1} f^m v_2 + \dots + \eta_{0,(m-1)}fv_2 + \eta_{0,m}v_2 + \eta_{1,1} f^{s_1} u_1 + \dots + \eta_{1,s_1-1}f u_1 + \eta_{1,(s_1 -1)}u_1 + \dots + \eta_{j,1}f^{s_j}u_j + \dots + \eta_{j, (s_j -1)}f u_j + \eta_{j, s_j}u_j$

El$\lambda_{i,j}, \eta_{i,j} \in \mathbb{C}$

Aplicar$f^m$a ambos lados de ambas igualdades, obtenemos$f^m w = \lambda_{0,m}f^mv = \eta_{0,m} f^m v_2$y$f^m w \neq 0 \implies \lambda_{0,m},\eta_{0,m} \neq 0$

Entonces$(\lambda_{0,m}/ \eta_{0,m})f^mv =f^m v_2$. Dejar$W = span(f^mv)$.

Desde$v_2$es arbitrario, un múltiplo escalar de$f^m v$está en cada Jordan Base de$\mathbb{C}^n$para$f$.$\Box$