encontrar matriz de transformación lineal en otra base

Dejar$\mathbf{x} = (x_{1}, x_{2}, x_{3})^T$sean las coordenadas de un punto en el$e$-base y dejar$\mathbf{y} = (y_{1}, y_{2}, y_{3})^T$sean las coordenadas del mismo punto en el$f$-base.

Es el mismo punto, por lo que requerimos la siguiente condición.

$$x_{1} \mathbf{e}_{1} + x_{2} \mathbf{e}_{2} + x_{3} \mathbf{e}_{3} = y_{1} \mathbf{f}_{1} + y_{2} \mathbf{f}_{2} + y_{3} \mathbf{f}_{3}$$

La pregunta da la forma de escribir el$f$vectores base en términos de$e$-base vectores:

$$\begin{aligned} \mathbf{f}_1 &= \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 \\ \mathbf{f}_2 &= \mathbf{e}_2 \\ \mathbf{f}_3 &= \mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_3 \end{aligned}$$

Podemos sustituir estas fórmulas en la ecuación de las coordenadas anteriores

$$x_{1} \mathbf{e}_{1} + x_{2} \mathbf{e}_{2} + x_{3} \mathbf{e}_{3} = y_{1} (\mathbf{e}_{1} + \mathbf{e}_{2}) + y_{2} \mathbf{e}_{2} + y_{3} (\mathbf{e}_{1} - \mathbf{e}_{3})$$

$$x_{1} \mathbf{e}_{1} + x_{2} \mathbf{e}_{2} + x_{3} \mathbf{e}_{3} = y_{1} \mathbf{e}_{1} + y_{1} \mathbf{e}_{2} + y_{2} \mathbf{e}_{2} + y_{3} \mathbf{e}_{1} - y_{3} \mathbf{e}_{3}$$

$$x_{1} \mathbf{e}_{1} + x_{2} \mathbf{e}_{2} + x_{3} \mathbf{e}_{3} = (y_{1} + y_{3}) \mathbf{e}_{1} + (y_{1} + y_{2} ) \mathbf{e}_{2} - y_{3} \mathbf{e}_{3}$$

Ahora$\mathbf{e}_1$,$\mathbf{e}_2$y$\mathbf{e}_3$son tres vectores linealmente independientes por lo que las componentes de cada vector se pueden igualar a ambos lados del anterior. es decir, podemos escribir:

$$\begin{aligned} x_1 &= y_1 + y_3 \\ x_2 & = y_1 + y_2 \\ x_3 &= -y_3 \end{aligned}$$

Lo siguiente es exactamente lo mismo que lo anterior con un espacio ligeramente diferente

$$\begin{aligned} x_1 &= y_1 & &+y_3 \\ x_2 & = y_1 &+ y_2 & \\ x_3 &= & &-y_3 \end{aligned}$$

Escribiendo las ecuaciones que relacionan las coordenadas de esta forma, podemos ver como el conjunto se puede escribir como una sola ecuación matricial:

$$\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{pmatrix} \Rightarrow \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \mathbf{y}$$

Esto muestra cómo podemos usar una matriz para convertir coordenadas en el$f$-base a coordenadas en el$e$-base, es decir$\mathbf{x} = T \mathbf{y}$, es decir, representa la matriz$T$en la fórmula

$$A' = T^{-1} A T$$

dónde$A$es la transformación que se aplica a las coordenadas en el$e$-base. La fórmula anterior se aplica

Habiendo encontrado$T$, podemos encontrar su inversa (a mano o con algún software):

$$T^{-1} = \begin{pmatrix} 1& -1& 0 \\ 0& 1& 0 \\ 1& -1& -1 \end{pmatrix}$$

y finalmente podemos calcular$A'$

$$A' = \begin{pmatrix} -3& -2& -2 \\ 3& 3& -1 \\ -7& -1& -6 \end{pmatrix}$$ que es la matriz de la transformación que se aplica a las coordenadas en el $f$-base.

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La siguiente parte explica cómo se deriva la fórmula que relaciona las dos matrices de transformación en las diferentes bases.

si escribimos$\mathbf{u}$por el resultado de aplicar$A$hacia$e$vector base$\mathbf{x}$y si escribimos$\mathbf{v}$por el resultado de aplicar$A'$hacia$f$vector base$\mathbf{y}$.

$$\begin{aligned} \mathbf{u} &= A \mathbf{x} \\ \mathbf{v} &= A' \mathbf{y} \\ \end{aligned}$$

los vectores$\mathbf{x}$y$\mathbf{y}$corresponden al mismo punto en las dos bases diferentes y también el par de vectores$\mathbf{u}$y$\mathbf{v}$. En otras palabras, se pueden escribir:

$$\begin{aligned} \mathbf{x} &= T \mathbf{y} \\ \mathbf{u} &= T \mathbf{v} \\ \end{aligned}$$

Esto significa que podemos escribir lo siguiente

$$\begin{aligned} \mathbf{u} &= T \mathbf{v} \\ A \mathbf{x} &= T \mathbf{v} \\ A \mathbf{x} &= T A' \mathbf{y} \\ A T\mathbf{y} &= T A' \mathbf{y} \\ T^{-1} A T\mathbf{y} &= A' \mathbf{y} \\ \end{aligned}$$ Como esto funciona para todos $\mathbf{y}$podemos concluir que $T^{-1} A T = A'$.

$T$es la matriz cuyas columnas son$f_1, f_2, f_3$. Eso es:

$$T=\begin{pmatrix}2&-1&-3\\6&0&-1\\-2&5&4 \end{pmatrix}$$

Solo tienes que calcular el inverso y aplicar tu fórmula.