¿Las entradas de la matriz dependen de las bases del dominio y el rango?

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¿Las entradas de la matriz dependen de las bases del dominio y el rango?

matrices
Matemáticas
espacios vectoriales
álgebra lineal
cambio de base

usuario499180

Considere la base $B=\{v_1,\dots,v_n\}$ de $\Bbb R^n$ , y escribe $S=\{e_1,\dots,e_n\}$ significar la base estándar.

Entonces esto significa (entre otras cosas) que $v_i\in \Bbb R^n$ , y por lo tanto puedo escribir cada $v_i$ en la base estándar como:

v_{i} = \sum_{j = 1}^{norte} a_{j i} {mi}_{j},

$v_i=\sum_{j=1}^n a_{ji}e_j,$ entonces supongo que estoy diciendo que tengo un cambio de matriz base:

(a_{i j})_{i j}

$(a_{ij})_{ij}$ donde de hecho (y de manera similar para el otro

v_{i}

$v_i$ escrito en base

B

$B$ ),

[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 norte} \\ ⋱ \\ ⋱ \\ a_{norte 1} & a_{norte 2} & \dots & a_{norte norte} \end{matrix}] {[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}]}_{B} = {[\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{norte 1} \end{matrix}]}_{S}

$\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\&\ddots\\&&\ddots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix}_{B}=\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots\\a_{n1}\end{bmatrix}_{S}$ donde he usado un subíndice para indicar la base con respecto a la cual se escribe este vector.

Supongo que las entradas de la matriz dependen de los vectores en el dominio y la imagen. ¿Se suele denotar la matriz de una manera que codifique la base del origen y el destino?

Supongo que estoy pidiendo esta matriz. $A=(a_{ij})_{ij}:\Bbb R^n\to \Bbb R^n$ ser un isomorfismo, y estoy diciendo que $A:V\to W$ dónde $V$ se genera libremente por $\{v_1,\dots,v_n\}$ y $W$ se genera libremente por $\{e_1,\dots,e_n\}$ .

Respuestas (2)

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Gibbs · Answer 1

Hay una diferencia entre "matriz" y "operador lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita".

Una matriz es solo una tabla formal de números, funciones, letras, lo que sea.

Un operador lineal entre dos espacios vectoriales reales de dimensión finita es un mapa lineal entre $V$ y $W$ , dónde $V$ y $W$ son espacios vectoriales con $\dim V = n$ y $\dim W = m$ (y entonces $V \cong \mathbb{R}^n$ y $W \cong \mathbb{R}^m$ ). Como operador lineal $f: V \rightarrow W$ está completamente determinada por la imagen de los vectores de una base, para encontrar la acción de $f$ es suficiente para tomar una base $\{e_1,\dots,e_n\}$ de $V$ y calcular $f(e_1),\dots,f(e_n)$ . Estos serán vectores en $W$ , por lo que se puede expresar en términos de una base de $W$ , decir $\{l_1,\dots,l_m\}$ , eso es

F ({mi}_{i}) = \sum_{k = 1}^{metro} a_{i}^{k} {yo}_{k}

$f(e_i) = \sum_{k=1}^m a_i^kl_k$ dónde

a_{i}^{k}, i = 1, \dots, n, k = 1, \dots, m

$a_i^k, i = 1,\dots,n, k = 1,\dots,m$ son números reales. Estos definen una matriz

(a_{k}^{i})

$(a^i_k)$ , que es la matriz asociada a

f

$f$ . En este contexto, las entradas de la matriz dependen naturalmente de las bases elegidas.

Héctor Blandín · Answer 2

Las columnas de tu matriz. $A=(a_{ij})$ son exactamente las coordenadas de cada nueva base $B$ vector wrt la base estándar $\{e_1,\ldots,e_n\}$ . Para cada $j$ la columna $j$ de $A$ le da las coordenadas ordenadas del nuevo vector base $v_{j}\in B$ con respecto a la base canónica $S=\{e_1,\ldots,e_n\}$ . En ecuaciones:

[v_{i}]_{S} = [\begin{matrix} a_{1 j} \\ a_{2 j} \\ ⋮ \\ a_{norte j} \end{matrix}] = A [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 1 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}]

$[v_i]_{S}=\left[\begin{array}{c} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots \\ a_{nj}\end{array}\right]= A\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ \vdots\\ 1\\\vdots \\ 0\end{array}\right]$ dónde

e_{j} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 1 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}]

$e_{j}=\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ \vdots\\ 1\\\vdots \\ 0\end{array}\right]$ tiene

1

$1$ en la posición

j

$j$ y

0

$0$ en otra parte.

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usuario499180

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Gibbs

Héctor Blandín

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