Movimiento armónico simple: ¿por qué el período es independiente de la amplitud incluso cuando la velocidad angular está relacionada con la amplitud?

Question

Movimiento armónico simple: ¿por qué el período es independiente de la amplitud incluso cuando la velocidad angular está relacionada con la amplitud?

Física
osciladores
oscilador armónico
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deberes-y-ejercicios

Feldespato K

El período es independiente de la amplitud. ( vias.org )

Pero dado eso,

El movimiento armónico simple se puede definir por

\begin{matrix} (1) & X = A * pecado (ω t) \end{matrix}

$x = A * \sin(\omega t) \tag{1}$ dónde

A

$A$ es la amplitud de la oscilación,

ω

$\omega$ la velocidad angular,

t

$t$ el tiempo, y

x

$x$ el desplazamiento desde la posición media

Y,

\begin{matrix} (2) & T = 2 π / ω = 1 / F \end{matrix}

$T = 2 \pi/\omega = 1/f \tag{2}$ dónde,

T

$T$ es el periodo de movimiento y

f

$f$ es la frecuencia de oscilación.

La ecuación (1) se puede reorganizar para dar

\begin{aligned} X & = A * pecado (ω t) \\ \frac{X}{A} & = pecado (ω ω t) \\ arcsen (\frac{X}{A}) & = ω t \\ ω & = \frac{arcsen (\frac{X}{A})}{t} \end{aligned}

$\begin{align*} x &= A * \sin (\omega t)\\ \frac{x}{A} &= \sin(\omega ωt) \\ \arcsin\left(\frac{x}{A}\right) &= \omega t\\ \omega &=\frac{\arcsin\left(\frac{x}{A}\right)}{t} \end{align*}$

Sustituyendo esto en (2) da la siguiente relación entre $T$ y $A$

T = \frac{2 π t}{arcsen (X / A)} = \frac{1}{F}

$T = \frac{2 \pi t}{\arcsin(x/A)} = \frac{1}{f}$

¿Acaso el hecho de que ambos $T$ y $A$ aparecen en la ecuación anterior muestran que $T$ (período) depende de $A$ (amplitud) ?

Para tu información:

Aunque una explicación física puede ser útil, estoy particularmente interesado en por qué derivar una relación entre $T$ y $A$ no significa que sean dependientes . Tenga en cuenta que aquí hay una pregunta similar , pero que se refiere a la física de los fenómenos, y no a por qué no se pueden usar las matemáticas para resolverlo.

Esto se debe a que tengo este examen en el que se nos da un estímulo y, en función de ese estímulo solo, estamos destinados a responder preguntas (es decir, se espera que el examen contenga material/principios a los que no hemos estado expuestos antes, pero debería poder respuesta dado el estímulo). Y como no sabía mucho sobre el movimiento armónico simple, mi reacción inicial fue ver si las fórmulas enlazaban $T$ y $A$ .

La pregunta de práctica (que he escrito las partes importantes de arriba es) La respuesta es D.

usuario108787

Solo para su información, este sitio vinculado a continuación puede convertir imágenes en texto, por ejemplo, de su imagen de arriba: el movimiento armónico simple se puede definir mediante la ecuación = — kx donde F es la fuerza que actúa yx es el desplazamiento desde la posición media. Alternativamente, el movimiento armónico simple se puede definir por x — A.sen wt donde A es la amplitud y donde el período del movimiento T — 27r/co = 1 donde f es la frecuencia del movimiento armónico simple. onlineocr.net

proyecto de ley alsept

No estoy seguro si lo está preguntando de esta manera, pero si golpea una cuerda de guitarra con fuerza, la amplitud será alta en lugar de golpearla suavemente y obtener una amplitud baja. Independientemente de cómo lo golpees, la frecuencia será la misma y no depende de AmpliTube o viceversa.

Feldespato K

Gracias por el enlace CountTo10, que será muy útil en el futuro. @BillAlsept. Gracias por la explicación. Aunque eso ayuda, me preocupa más por qué las matemáticas no concuerdan con la respuesta. La razón es que, para este examen, estoy basando la mayoría de mis respuestas (en diferentes temas, no solo en el movimiento armónico simple) en lo que me muestran las matemáticas; pero aquí las matemáticas me guían a la respuesta incorrecta y estoy tratando de averiguar por qué. Supongo que hay algo diferente en las fórmulas que se proporcionaron que no permiten sustituir una en la otra.

M. Enns

¿No querrás decir

T = \frac{2 π}{ω} = \frac{1}{f}

$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{1}{f}$

Feldespato K

Oh Dios, creo que eso es. La segunda barra en el signo igual probablemente haya desaparecido (como puede ver arriba) cuando la página original se escaneó en un PDF que he estado leyendo. ¡Lo siento! Pero gracias por recoger eso.

Respuestas (2)

Movimiento armónico simple: ¿por qué el período es independiente de la amplitud incluso cuando la velocidad angular está relacionada con la amplitud?

Solo para su información, este sitio vinculado a continuación puede convertir imágenes en texto, por ejemplo, de su imagen de arriba: el movimiento armónico simple se puede definir mediante la ecuación = — kx donde F es la fuerza que actúa yx es el desplazamiento desde la posición media. Alternativamente, el movimiento armónico simple se puede definir por x — A.sen wt donde A es la amplitud y donde el período del movimiento T — 27r/co = 1 donde f es la frecuencia del movimiento armónico simple. onlineocr.net
No estoy seguro si lo está preguntando de esta manera, pero si golpea una cuerda de guitarra con fuerza, la amplitud será alta en lugar de golpearla suavemente y obtener una amplitud baja. Independientemente de cómo lo golpees, la frecuencia será la misma y no depende de AmpliTube o viceversa.
Gracias por el enlace CountTo10, que será muy útil en el futuro. @BillAlsept. Gracias por la explicación. Aunque eso ayuda, me preocupa más por qué las matemáticas no concuerdan con la respuesta. La razón es que, para este examen, estoy basando la mayoría de mis respuestas (en diferentes temas, no solo en el movimiento armónico simple) en lo que me muestran las matemáticas; pero aquí las matemáticas me guían a la respuesta incorrecta y estoy tratando de averiguar por qué. Supongo que hay algo diferente en las fórmulas que se proporcionaron que no permiten sustituir una en la otra.
Oh Dios, creo que eso es. La segunda barra en el signo igual probablemente haya desaparecido (como puede ver arriba) cuando la página original se escaneó en un PDF que he estado leyendo. ¡Lo siento! Pero gracias por recoger eso.

Amara · Answer 1

Solo para recalcar el punto, su derivación de hecho no muestra que el período dependa de la amplitud. Sigamos con la frecuencia angular (el mismo trato). Lo que realmente tenemos es $\omega(t) = \frac{\sin^{-1}(\frac{x(t)}{A})}{t}$ . Pero ahora, ¿cómo depende x de t? Bueno, entonces tenemos

ω (t) = \frac{{pecado}^{- 1} (\frac{A s i norte (ω t)}{A})}{t} = \frac{{pecado}^{- 1} (s i norte (ω t))}{t} = ω

$\omega(t) = \frac{\sin^{-1}(\frac{A sin(\omega t )}{A})}{t} = \frac{\sin^{-1}(sin(\omega t))}{t} =\omega$ En otras palabras, su derivación es una tautología completa.

Gracias por explicar eso. No sé si hay una solución fácil, pero ¿hay alguna forma de evitarlo (como tener una derivación circular o un caso x=x) o detectar cuándo sucede eso? Ni siquiera se me ocurrió que podría haber hecho eso. Durante la época de exámenes, no podré comprobar algo una y otra vez para asegurarme de que no lo he hecho, así que, ¿hay algún indicio que te lo haya revelado?
Todo lo que puedo decir es usar más de una ecuación en las derivaciones. Eso debería reducir las posibilidades de derivaciones circulares.
Lo siento, realmente no entiendo lo que quieres decir. En la derivación anterior utilicé más de una ecuación. ecuación 1)x=A∗sin(ωt) y ecuación 2)T=2pi/w=1/f (que sin embargo escribí incorrectamente como T-2pi).
Debería ser más claro, es buena idea usar más de una ecuación independiente, la segunda ecuación es solo la inversa de omega. Entonces podemos ignorar el segundo y tratar solo con el primero. Así que en realidad hay una ecuación.

Sean E. Lago · Answer 2

Eso es porque $x$ depende de $t$ de tal manera que no haya dependencia de $A$ queda en la expresión. $A$ y $\omega$ son constantes que no dependen del tiempo, y $x$ es una función del tiempo; es la posición en el momento $t$ , generalmente escrito $x(t)$ .

Cuando la fuerza no es la ley de Hooke, entonces puedes obtener una relación entre $A$ y $\omega$ . La razón de esto es que la energía de un oscilador armónico simple es

mi = \frac{1}{2} metro [v (t)]^{2} + \frac{1}{2} k [X (t)]^{2},

$E = \frac{1}{2} m [v(t)]^2 + \frac{1}{2} k [x(t)]^2,$ esa es la ecuación para una elipse en

x

$x$ -

v

$v$ espacio sin importar cuán grande sea la amplitud/energía. El oscilador armónico simple simplemente gira alrededor de esa elipse con una frecuencia angular constante,

ω

$\omega$ . Si tuviera que cambiar el término de energía potencial a, digamos:

mi = \frac{1}{2} metro [v (t)]^{2} + \frac{1}{4} k [X (t)]^{4},

$E = \frac{1}{2} m [v(t)]^2 + \frac{1}{4} k [x(t)]^4,$ entonces la forma con una energía constante ya no es una elipse, y la forma cambia a medida que cambia la energía de tal manera que la amplitud y el período se relacionan.

Para otro ejemplo, una mirada a las órbitas de los planetas y la tercera ley de Kepler : la amplitud a lo largo del eje mayor y el período están relacionados por:

\frac{T^{2}}{A^{3}} = \frac{4 π^{2}}{GRAMO (METRO + metro)}

$\frac{T^2}{A^3} = \frac{4\pi^2}{G(M+m)}$

Movimiento armónico simple: ¿por qué el período es independiente de la amplitud incluso cuando la velocidad angular está relacionada con la amplitud?

Feldespato K

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